Question

如图所示， AB和 CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径 R＝2.0ｍ，一个质量为 的物体在离弧高度为处，以初速度沿斜面运动，若物体与两斜面间的动摩擦因数，重力加速度，则

（1）物体在斜面上（不包括圆弧部分）走过路程的最大值为多少？

（2）试描述物体最终的运动情况．

（3）物体对圆弧最低点的最大压力和最小压力分别为多少？

Answer

（1）

（2）物体最终是在 B、C之间的圆弧上来回做变速圆周运动，且在 B、 C点时速度为零．

（3）

【解析】（1）物体在两斜面上来回运动时，克服摩擦力所做的功Ｗｆ＝μｍｇｃｏｓ60°·ｓ总．

物体从开始直到不再在斜面上运动的过程中ｍｇｈ－Ｗｆ＝0－ｍｖ02．解得ｓ总＝38ｍ．

（2）物体最终是在Ｂ、Ｃ之间的圆弧上来回做变速圆周运动，且在Ｂ、Ｃ点时速度为零．

（3）物体第一次通过圆弧最低点时，圆弧所受压力最大．由动能定理得

ｍｇ［ｈ＋Ｒ（1－ｃｏｓ60°）］－μｍｇ＝ｍ（ｖ12－ｖ02）

由牛顿第二定律得Ｎｍａｘ－ｍｇ＝，

解得Ｎｍａｘ＝54.5Ｎ．

物体最终在圆弧上运动时，圆弧所受压力最小．由动能定理得

ｍｇＲ（1－ｃｏｓ60°）＝ ｍｖ22

由牛顿第二定律得Ｎｍｉｎ－ｍｇ＝ 解得Ｎｍｉｎ＝20Ｎ．