Question

如图所示，在倾斜角为30°的光滑斜面上静止放置两个小球，它们的质量分别为M和m，它们的半径分别为R和r。它们之间用长为的轻绳相连（图中未画出）。开始时紧靠在一起并锁定于斜面上的A处，在斜面上的B处固定一个开有小孔的挡板，小孔半径为R₀(r<R₀<R)，A、B间距离为，现解除对小球的锁定，让两小球一起从静止开始沿斜面下滑，b球取阻碍地通过小孔，而a球与挡板发生无机械损失的碰撞，a球碰撞后沿斜面向上运动，b球仍沿斜面向下运动，轻绳绷紧的时间极短，斜面足够长，两小球始终在斜面上运动，重力加速度g取10m/s²。

(1)求小球从A处由静止开始一起沿下面下滑的加速度大小和它们到达挡板的速度的大小；

(2)若，求连接两球的轻绳绷瞬间， 两球共同速度v的大小和方向；

(3)若，试讨论两球共同速度v的方向与k值关系。

Answer

(1) (2) ，方向沿斜面向下 (3)当时,速度为零；当时，v沿斜面向上；当时,v沿斜面向下；

【解析】（1）设两球一起运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得到：

解得：

由匀变速直线运动规律可知：

解得： 。

（2）a球与挡板发生五机械能损失的碰撞后速度为，设轻绳绷紧前瞬间小球的速度大小为和，从两球到达小孔到轻绳绷紧的时间为t，这一过程中两球的加速度相同，b球相对a球为匀速运动，则有：

对a球： ，对b球：

解得： （方向沿斜面向下）

（方向沿斜面向上）

由于轻绳绷紧时间极短，忽略重力沿斜面方向的分力，取沿斜面向下为正方向，由动量守恒定律得到：

在时，解得： ，方向沿斜面向下；

（3）若，由（2）问可知，

当时，

讨论：当时，绳绷紧瞬间， 两球瞬时速度为零；

当时， ，绳绷紧后， 两球沿斜面向上运动；

当时， ，绳绷紧后， 两球沿斜面向下运动；