Question

如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上。用手按住C，使细线恰好伸直但没有拉力，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为M（），细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放C后它沿斜面下滑，当A恰好要离开地面时，B获得最大速度（B未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g）。求：

(1)释放物体C之前弹簧的压缩量；

(2)物体B的最大速度；

(3)若C与斜面的动摩擦因数为μ，从释放物体C开始到物体A恰好要离开地面时，细线对物体C所做的功。

Answer

(1) (2) (3)

【解析】试题分析：(1) 释放物体C之前，细线恰好伸直，绳子拉力为零，弹簧处于压缩状态，设弹簧的压缩量为x，

对物体B受力分析，由平衡条件及胡克定律得：

解得

（2）当A恰好要离开地面时，地面对物体A的支持力为零，弹簧处于伸长状态，设弹簧的伸长量为，对物体A受力分析，由平衡条件及胡克定律得：

因此物体B上升的高度和物体C沿斜面下滑的距离为

设斜面倾角为α，当物体B达最大速度时，以三个物体和弹簧作为研究对象，所受合外力为零，则有

A、B、C、弹簧组成的系统机械能守恒，因初始状态弹簧的压缩量与物体B达最大速度时弹簧的伸长量相等，所以在整个过程中弹性势能变化量为零，根据机械能守恒定律有

联立以上各式解得

（3）设物体A恰好要离开地面时，物体A和物体C的速度为，以三个物体和弹簧作为研究对象，由（2）的分析知，在整个过程中弹性势能变化量为零，由功能关系得：

以物体C为研究对象，根据动能定理有

解得