Question

如图所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上，绝缘斜面上固定有“”形状的光滑金属导轨MPN（电阻忽略不计），MP和NP长度均为2.5m，MN连线水平，长为3m，以MN的中点O为原点，OP为x轴建立一维坐标系Ox，一根粗细均匀的金属杆CD，长度d为3m，质量m为1kg，电阻R为0.3Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定速度v=1m/s在导轨上沿x轴正向运动（金属杆与导轨接触良好），g取10m/s²．

（1）求金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E及运动到x=0.8m处电势差U_CD；

（2）推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式；

（3）求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热．

Answer

（1）-0.6v（2）（3）7.5J

【解析】试题分析：导体棒切割磁感线产生感应电动势，由几何关系求得x=0.8m处的电动势，由欧姆定律即可求得CD之间的电势差；感应电流大小与导体长度无关，则电流恒定，因而由电量表达式结合时间即可求解；当导体棒匀速运动，由有效长度可列出安培力大小关于向下运动位移的表达式，根据安培力与位移成线性关系，可利用安培力平均值来求出产生焦耳热。

（1）金属杆CD在匀速运动中产生的感应电动势，（l=d），

解得：E=1.5V（D点电势高）

当x=0.8m时，金属杆在导轨教案的电势差为零，设此时杆在导轨外的长度为，则得，

联立并带入数据解得：

由楞次定律判断D点电势高，故CD两端电势差

（2）杆在导轨间的长度l与位置x的关系是： ，

对应的电阻为

电流为：

杆受安培力为：

根据平均条件可得，

（3）外力F所做的功等于F-x图线下所围成的面积，即

而杆的重力势能增加量，则有：

故全过程产生的焦耳热