Question

如图所示，在竖直平面内固定有两个靠近的同心圆轨道，外圆轨道光滑，内圆轨道粗糙，一质量为m的小球从两轨道间的最低点以初速度v₀向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力，设小球过最低点时重力势能为零．下列说法正确的是

A. 若使小球始终做完整的圆周运动，则v₀一定不小于

B. 经过足够长的时间后，小球最终的机械能可能为

C. 若小球运动到最高点时的速度为0，则小球机械能一定守恒

D. 若小球第一次运动到最高点时的速度为0，则v₀一定大于

Answer

AD

【解析】若使小球始终做完整的圆周运动，小球应沿外圆运动，在运动过程中不受摩擦力，机械能守恒，小球恰好运动到最高点时速度设为v，则有 mg=m；由机械能守恒定律得：

mv02=mg•2R+mv2，小球在最低点时的最小速度v0=，所以若使小球始终做完整的圆周运动，则v0一定不小于．故A正确．若初速度v0比较小，小球在运动过程中一定与内圆接触，机械能不断减少，经过足够长时间，小球最终在圆心下方运动，最大的机械能为mgR，所以小球最终的机械能不可能为mgR．若初速度v0足够大，小球始终沿外圆做完整的圆周运动，机械能守恒，机械能必定大于2mgR，故B错误．若小球运动到最高点时受到为0，则小球在运动过程中一定与内圆接触，受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，小球的机械能一定不守恒，故C错误；如果内圆光滑，小球在运动过程中不受摩擦力，小球在运动过程中机械能守恒，如果小球运动到最高点时速度为0，由机械能守恒定律得：

mv02=mg•2R，小球在最低点时的速度v0=2，由于内圆粗糙，小球在运动过程中要克服摩擦力做功，则小球在最低点时的速度v0一定大于2，故D正确．故选AD．