Question

如甲图所示，光滑轨道由三部分组成。左边是倾角的斜面，右边是半圆，中间为足够长的水平面。斜面与水平面平滑连接，水平面与半圆相切，切点为M。现有10个相同的小球，半径为r、质量为m，这些小球恰可占满右边圆轨道(最外端的两个小球恰能同时与圆轨道直径相切，如乙图所示)。己知 ，重力加速度大小为g。现将10个小球依次放在斜面上，最下面的小球a的球心距地面高设为H， 同时释放所有小球后，求：

⑴若H己知，a小球刚到水平面时的速率；

⑵若H已知，a小球刚到M点时对圆轨道的压力；

⑶若a小球从圆轨道最高点抛出，落点与M点相距L，则H应为多少。

Answer

（1），（2），（3）

【解析】试题分析：（1）对a小球从静止运动到水平面的过程应用机械能守恒求解；（2）由几何关系求得圆轨道半径，然后对a小球在M点应用牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；（3）由平抛运动规律求得在最高点的速度，然后由动能定理求解．

（1）从释放所有小球到a小球刚到水平面，选地面为参考平面

根据机械能守恒定律有：

解得：a小球刚到水平面时的速度

（2）从释放所有小球到a小球到达M点，选地面为参考平面，根据机械能守恒有：

解得：

设圆轨道的半径为R，由几何关系得：

解得：圆轨道半径

在M点，由牛顿第二定律得：

解得：

由牛顿第三定律可知a小球刚到M点时对圆轨道的压力为

（3）a小球做平抛运动，设平抛的水平初速度为，由平抛运动规律得：

竖直方向有：

水平方向有：

联立得：

从释放所有小球到a小球达到最高点，选地面为参考平面，根据机械能守恒有：

解得：