Question

如图所示，倾角为θ＝30°、宽度为d＝1 m、长为L＝4 m的光滑倾斜导轨，导轨C₁D₁、C₂D₂顶端接有定值电阻R₀＝15 Ω，倾斜导轨置于垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝5 T，C₁A₁、C₂A₂是长为s＝4.5 m的粗糙水平轨道，A₁B₁、A₂B₂是半径为R＝0.5 m处于竖直平面内的1/4光滑圆环(其中B₁、B₂为弹性挡板)，整个轨道对称．在导轨顶端垂直于导轨放一根质量为m＝2 kg、电阻不计的金属棒MN，当开关S闭合时，金属棒从倾斜轨道顶端静止释放，已知金属棒到达倾斜轨道底端前已达到最大速度，当金属棒刚滑到倾斜导轨底端时断开开关S，(不考虑金属棒MN经过C₁、C₂处和棒与B₁、B₂处弹性挡板碰撞时的机械能损失，整个运动过程中金属棒始终保持水平，水平导轨与金属棒MN之间的动摩擦因数为μ＝0.1，g＝10 m/s²)．求：

(1)开关闭合时金属棒滑到倾斜轨道底端时的速度大小；

(2)金属棒MN在倾斜导轨上运动的过程中，电阻R₀上产生的热量Q；

(3)已知金属棒会多次经过圆环最低点A₁A₂，求金属棒经过圆环最低点A₁A₂时对轨道压力的最小值．

Answer

(1)6m/s (2) 4 J (3)56 N，方向竖直向下

【解析】试题分析：开关闭时，金属棒下滑时切割磁感线运动，产生感应电动势，产生感应电流，受到沿斜面向上的安培力，做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为0时，速度最大．根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系式结合，求解即可；下滑过程中，重力势能减小，动能增加，内能增加，根据能量守恒求出整个电路产生的热量，从而求出电阻R0上产生的热量；由能量守恒定律求出金属棒第三次经过A1A2时速度，对金属棒进行受力分析，由牛顿定律即可求解。

（1）金属棒沿导轨下滑，速度增大，感应电流增大，安培力增大，加速度减小，当加速度减小到零时，金属棒受到的合外力为零，速度增加到最大，此后金属棒就以最大速度做匀速运动．对金属棒受力分析如图所示：

由力的平衡方程：F安＝mgsinθ

当金属棒最大速度时感应电动势E＝Bdvm

感应电流为：

安培力为：F安＝BId

联立以上并代入数据解得金属棒的最大速度为：vm=6m/s

(2)金属棒MN在导轨上运动的过程中，重力势能减少，动能增加，同时产生焦耳热，由能量守恒定律可知，减少的重力势能等于增加的动能与焦耳热之和：

解得电阻R0上产生的热量：Q=4 J

(3)当金属棒刚滑到倾斜导轨底端时已断开开关S，故金属棒再滑回倾斜的轨道上时， 不再产生安培力，根据动能定理得：

解得：n=4

从金属棒滑上水平轨道到第三次经过A1A2，重力做的总功为零，相当于只有摩擦力做功，由动能定理得：

在A1A2对金属棒受力分析，支持力与重力的合力提供向心力，

根据牛顿第二定律得：FN－mg＝mv2/R

联立以上并代入数据解得：FN=56 N

根据牛顿第三定律，金属棒对轨道的压力：FN′=FN=56 N，方向竖直向下