Question

某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为S。比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到时，再以做匀速直线运动跑至终点。整个过程中球一直保持在球拍中心不动。比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为，如图所示。设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比（），方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g。

（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数；

（2）求在加速跑阶段球拍倾角随速度变化的关系式；

（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为，而球拍的倾角比大了并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求应满足的条件。

Answer

（1），（2），（3）.

【解析】试题分析：（1）在匀速运动阶段，受力平衡，根据平衡条件列式即可求解；（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为，根据牛顿第二定律即可求解；（3）根据牛顿第二定律求出球沿球拍面下滑的加速度，当球运动的位移小于等于r时，球不从球拍上掉落，根据运动学基本公式列式即可求解．

（1）在匀速运动阶段，有：

得：

（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为，有：

由牛顿第二定律得：

由平衡条件得：

联立得：

（3）以速度匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，则有

球拍倾角为时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为

由牛顿第二定律得：

设匀速跑阶段所用时间为t，有：

球不从球拍上掉落的条件

联立得：