Question

如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°夹角固定放置，导轨间连接一阻值为6Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m、n间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场．导体棒a的质量为m_a=0.4kg，电阻R_a=3Ω；导体棒b的质量为m_b=0.1kg，电阻R_b=6Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a、b从开始相距L₀=0.5m处同时将它们由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时，a正好进入磁场（g取10m/s²，不计a、b之间电流的相互作用sin53°=0.8）．求：

（1）当a、b分别穿越磁场的过程中，通过R的电荷量之比；

（2）在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比；

（3）磁场区域沿导轨方向的宽度d为多大；

（4）在整个过程中，产生的总焦耳热．

Answer

（1）2：1 （2）3：1 （3）0.25m （4）1J

【解析】试题分析：导体棒进入磁场切割磁感线，从而产生感应电动势，电路出现感应电流，则由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，可推出通过导体棒的电量表达式即可求解；两棒匀速穿越磁场的过程中，安培力等于重力的分力，根据平衡条件即可求得速度之比；当b棒到达m时，两棒的速度相等，根据两棒匀速运动的速度关系，求出两速度，根据速度位移公式即可求出磁场区域沿导轨方向的宽度d；在a穿越磁场的过程中，因a棒切割磁感线产生感应电流，可求出对应的安培力做功，同理b棒切割磁感线，产生感应电流，从而求出安培力做功，则两棒整个过程中，产生的总焦耳热为两者之和。

（1）根据电量表达式：

由闭合电路欧姆定律：

法拉第电磁感应定律：

联立可得：

在b穿越磁场的过程中，b是电源，a与R是外电路，电路的总电阻R总1=8Ω，

通过R的电荷量为：

同理a棒在磁场中匀速运动时：R总2=6Ω，

通过R的电荷量为：

可得：qRa：qRb=2：1

（2）设b在磁场中匀速运动的速度大小为vb，产生的感应电动势为：

则b中的电流：

由于b在磁场中做匀速运动由以上两式得：

同理a棒在磁场中匀速运动时：

可得va：vb=3：1

（3）设a、b穿越磁场的过程中的速度分别为va和vb，

由题意得：va=vb+gsin53°t

匀速直线运动，则有d=vbt

根据速度位移公式：

代入数据解得：d=0.25m

（4）由功能关系，焦耳热等于导体克服安培力做的功

a受的安培力大小为：F安a=magsin53°

安培力做功为：Wa=magdsin53°=0.8J

同理Wb=mbgdsin53°=0.2J

在整个过程中，电路中共产生多少焦耳热为：Q=Wa+Wb=1J