Question

如图甲，PNQ为竖直放置的半径为0．1 m的半圆形轨道，在轨道的最低点P和最高点Q各安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧通过这两点时对轨道的压力F_P和F_Q．轨道的下端与一光滑水平轨道相切，水平轨道上有一质量为0．06 kg的小球A，以不同的初速度v₀与静止在轨道最低点P处稍右侧的另一质量为0．04 kg的小球B发生碰撞，碰后形成一整体（记为小球C）以共同速度v冲入PNQ轨道．（A、B、C三小球均可视为质点，g取10 m/s²）

（1）若F_P和F_Q的关系图线如图乙所示，求：当F_P＝13 N时所对应的入射小球A的初速度v₀为多大？

（2）当F_P＝13 N时，AB所组成的系统从A球开始向左运动到整体达到轨道最高点Q全过程中所损失的总机械能为多少？

（3）若轨道PNQ光滑，小球C均能通过Q点．试推导F_P随F_Q变化的关系式，并在图丙中画出其图线．

Answer

（1）m/s；（2）0．6 J ；（3）FQ＝FP－6（N），图像见解析。

【解析】试题分析：小球经过P、Q两点时，由重力和轨道对小球的支持力的合力提供向心力，AB相碰，满足动量守恒，根据牛顿第二定律及动量守恒定律列式即可求出速度；先求出AB相碰所损失的机械能，根据动能定理求出从球C从P运动至Q的过程中摩擦力做功，进而求出小球损失的机械能；轨道光滑，小球C由P至Q的过程中机械能守恒，可列出小球经过AC两点的速度关系，再由牛顿第二定律得到FP随FQ变化的关系式，画出图线。

（1）设A球的质量为M，B球的质量为m，由牛顿第三定律可知，小球在P、Q两点所受轨道的弹力大小为：NP=FP，NQ=FQ
在P点根据牛顿第二定律可得：

带入数据解得：

A、B相碰过程中满足动量守恒：Mv0=（M+m）vP

带入数据解得：

(2) A、B相碰所损失的机械能：

带入数据解得：

球C在Q点由牛顿第二定律得：

球C从P运动至Q的过程，根据动能定理得：

联立并代入数据解得：Wf＝－0.2 J

故球C上升过程中所损失的机械能ΔE2＝0.2 J

故整个系统在全过程中所损失的机械能ΔE＝ΔE1＋ΔE2＝0.6 J

（3）因轨道光滑，小球C由P至Q的过程中根据动能定理得：

联立解得：NP－NQ＝6(M＋m)g

即FQ＝FP－6(N)

图线如图所示