Question

如图所示，在xOy平面坐标系中，x轴上方存在电场强度E=1000V/m、方向沿y轴负方向的匀强电场；在x轴及与x轴平行的虚线PQ之间存在着磁感应强度为B=2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场宽度为d．一个质量m=2×10⁻⁸kg、带电量q=+1.0×10⁻⁵C的粒子从y轴上(0,0.04)的位置以某一初速度v₀沿x轴正方向射入匀强电场，不计粒子的重力．

（1）若v₀=200m/s．①求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；

②若该粒子恰好无法穿过磁场区域，求磁场的宽度d；

③求粒子由磁场第一次返回电场时，经过x轴的坐标；

（2）试证明：只要粒子能够返回电场区域，则其在磁场中的轨迹对应x轴上的弦长为一定值；

（3）要使以大小不同的初速度（包括初速度为v₀）射入电场的粒子都能经磁场区域后返回电场，求磁场的最小宽度d．

Answer

（1）①m/s，方向与x轴成45∘角②0.4m③−0.32，0（2）2ah（3）0.2m

【解析】试题分析：（1）①粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律即可求解进入磁场时的速度；②作粒子的在磁场运动轨迹图象，当运动轨迹恰好与磁场边界相切，则粒子无法穿越磁场，根据牛顿第二定律和几何关系即可求解磁场宽度d；③根据几何关系即可求解；（2）根据牛顿第二定律和几何关系进行求解；（3）粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨迹半径r．当初速度为0时粒子最容易穿过磁场． 要使以大小不同初速度射入电场的粒子都能经磁场返回，磁场的最小宽度d=r．

（1）①带电粒子垂直进入电场中做类平抛运动

根据牛顿第二定律得：

根据运动学公式有：

联立解得：

粒子刚进入磁场时竖直分速度大小为：

根据几何关系有：

代入数据解得：

，即

故粒子进入磁场时速度大小为，方向与x轴成角

②作出粒子的运动轨迹图如图所示

当粒子运动到磁场边界时，运动轨迹恰好与磁场边界相切，此时粒子恰好无法穿过磁场区域，在磁场中由牛顿第二定律得：

解得：

根据几何关系得：

解得：

③由几何关系可得：

做类平抛运动的水平位移为

故粒子由磁场第一次返回电场时，经过x轴的坐标为

（2）只要粒子能够返回电场区域，粒子的运动轨迹图与（1）问中的图类似

则此时对应的弦长为，而

解得：

根据类平抛运动规律得：

解得：

代入数据解得： 为一定值

（3）当初速度为0时粒子最容易穿过磁场

根据，

解得：

要使所有带电粒子都返回电场，磁场的最小宽度为：d=0.2m