Question

如图所示，质量均为m的物体B、C分别与轻质弹簧的两端相栓接，将它们放在倾角为的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为．斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上．将质量也为m的物体A从斜面上的某点由静止释放，A与B相碰．已知重力加速度为，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力．求：

（1）弹簧的劲度系数；

（2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，当A与B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力恰好为零，求C对挡板D压力的最大值．

（3）若将A从另一位置由静止释放，A与B相碰后不粘连，但仍立即一起运动，且当B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力也恰好为零．已知A与B相碰后弹簧第一次恢复原长时B的速度大小为，求相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离．

Answer

（1）,（2）3mg,（3）.

【解析】试题分析：（1）对B进行受力分析，由平衡条件求出弹簧的劲度系数．（2）根据简谐运动特点求出回复力，然后应用平衡条件、牛顿第三定律求出C对D的最大压力．（3）对A应用机械能守恒定律求出A、B碰撞前A的速度，由动量守恒定律求出碰撞后A、B的速度，对A与B组成的系统、B与C组成的系统、对A、对B应用机械能守恒定律，分析答题．

（1）物体B静止时，弹簧形变量为x0，弹簧的弹力，物体B受力如图所示

由平衡条件得：

解得：弹簧的劲度系数

（2）A与B碰后一起做简谐运动到最高点时，物体C对挡板D的压力最小为0

则对C，弹簧弹力：

对A、B，回复力最大：

由简谐运动的对称性，可知A与B碰后一起做简谐运动到最低点时，回复力也最大

即，此时物体C对挡板D的压力最大

对物体A、B有：

则弹簧弹力：

对物体C，设挡板D对物体C的弹力为N

则：

由牛顿第三定律可知，物体C对挡板D的压力大小：

物体C对挡板D压力的最大值为

（3）设物体A释放时A与B之间距离为x，A与B相碰前物体A速度的大小为

对物体A，从开始下滑到A、B相碰前的过程，由机械能守恒定律得：

解得： ①

设A与B相碰后两物体共同速度的大小为，A与B发生碰撞的过程动量守恒

以碰前A的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：

解得： ②

物体B静止时弹簧的形变量为，设弹性势能为，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程

由机械能守恒定律得： ③

当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设分离后物体A还能沿斜面上升的距离为

对物体A，从与B分离到最高点的过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：

解得：

对物体B、C和弹簧所组成的系统，物体B运动到最高点时速度为0

物体C恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为，弹簧的弹性势能也为

从A、B分离到B运动到最高点的过程，由机械能守恒定律得：

解得： ④

由①②③④解得：

由几何关系可得，物体A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离：