Question

宁波高中科技新苗项目的同学在一个连锁机关游戏中，设计了一个如图所示的起始触发装置：AB段是长度连续可调的竖直伸缩杆，BCD段是半径为R的四分之三圆弧弯杆，DE段是长度为2R的水平杆，与AB杆稍稍错开。竖直杆外套有下端固定且劲度系数较大的轻质弹簧，在弹簧上端放置质量为m的套环。每次将弹簧的长度压缩至P点后锁定，设PB的高度差为h，解除锁定后弹簧可将套环弹出，在触发器的右侧有多米诺骨牌，多米诺骨牌的左侧最高点Q和P点等高，且与E的水平距离为x(可以调节)，已知弹簧锁定时的弹性势能E_p=10mgR，套环P与水平杆DE段的动摩擦因数μ=0.5，与其他部分的摩擦可以忽略不计，不计套环受到的空气阻力及解除锁定时的弹性势能损失，不考虑伸缩竖直杆粗细变化对套环的影响，重力加速度为g。求：

(1)当h=7R时，套环到达杆的最高点C处时的速度大小；

(2)在(1)问中套环运动到最高点C时对杆作用力的大小和方向；

(3)若h在3R至10R连续可调，要使该套环恰能击中Q点，则x应该在哪个范围内调节？

Answer

（1）；（2）3mg，竖直向上；（3）≤x≤9R

【解析】试题分析：（1）当 h=3R时，套环从P点运动到C点，根据机械能守恒定律求解v；

（2）在最高点C时，对套环，根据牛顿第二定律求解作用力；

（3）套环恰能击中Q点，将平抛运动过程分解为水平方向和竖直方向的运动，再从P到E，根据能量守恒定律求解高度h。

【解析】
(1)当h=7R时，套环从P点运动到C点，根据机械能守恒定律有：

，解得： ；

(2) 在最高点C时，对套环，根据牛顿第二定律有：

解得： ，方向向上；

(3) 套环恰能击中Q点，平抛运动过程：

从P到E，根据能量守恒定律有：

由以上各式可解得： 。

点晴：本题考查了圆周运动最高点的动力学方程以及机械能守恒定律的应用，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键。