Question

如图所示为平面直角坐标系xoy，在第一、二象限中有一半圆形的有界磁场，圆心在O点，半圆的半径为R，磁场方向垂直坐标平面向里，磁感应强度为B，在y=R的上方有一沿x轴负方向的匀强电场，电场强度为E，在坐标原点有一粒子源，可以向第一象限坐标平面内的任意方向发射相同速率的带正电的粒子，粒子质量为m，电荷量为q，粒子的重力可以忽略不计，不考虑粒子间的相互作用。发现有一粒子从y轴上的P点离开磁场进入电场，并且此时速度方向与y轴正方向成30°，求

(1)粒子速度的大小；

(2)出磁场后能垂直进入电场的粒子从粒子源射出到经过y轴时所用的时间；

(3)在y=R上，有粒子能进入电场的横坐标范围。

Answer

(1) (2) (3)

【解析】试题分析：

(1)由题意和粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹找出粒子做匀速圆周运动的弦长和弦切角，根据弦长公式即可求出粒子的速度；

(2)分别求出粒子在磁场中运动的时间、在磁场和电场之间的运动时间、在电场中的运动时间，再三个时间之和即可；

(3)分别找出运动到y=R直线上最右端的粒子进入磁场的速度方向，和运动到y=R直线上最左端的粒子进入磁场的速度方向，根据几何知识即可求解。

【解析】
(1)由有一粒子从y轴上的P点离开磁场进入电场，并且此时速度方向与y轴正方向成30°可知，此时OP的连线即为粒子做匀速圆周运动的弦长，且弦切解为300，设粒子做匀速圆周运动的半径为r，由弦长公式，即，解得： ，再由洛伦兹力提供向心力即，解得： ；

(2)能垂直进入电场的粒子从为点射出后，到达圆形磁场边界的速度方向竖直向上，设粒子做匀速圆周运动的轨迹与圆形磁场边界相交于M点，由于粒子做匀速圆周运动的半径也为R，由几何关系可知，粒子做匀速圆周运动的圆心在圆形磁场边界的左半圆上，设为N点，连接OMN可知， 为等边三角形，所以粒子在磁场中的运动的圆心角为600，所以粒子在磁场中运动的时间，

粒子出磁场后做匀速圆周运动，从M点作垂线与y=R的电场线相交于P点，由几何关系解得，所以粒子从出磁场到进入电场所用的时间

粒子进入电场后做类平抛运动，由几何关系可知，M点到y轴的距离为，由电场力方向做匀加速直线运动，

解得：

所以总时间为；

(3)当粒子以平行x轴进入磁场时，从磁场射出再进入电场时为在y=R直线上的最右端，设粒子做匀速圆周运动轨迹与圆形磁场边界的交点为G，过G点作粒子出磁场速度的切线交y=R直线的交点为F，由几何关系可知

当粒子以平行y轴进入磁场时，从磁场射出再进入电场时为在y=R直线上的最左端，设粒子做匀速圆周运动轨迹与圆形磁场边界的交点为H，过H点作粒子出磁场速度的切线交y=R直线的交点为I，由几何关系可知，所以在y=R上，有粒子能进入电场的横坐标范围。