Question

如图所示，地面和半圆轨道面均光滑．质量M＝1 kg、长L＝4 m的小车放在地面上，其右端与墙壁的距离为s＝3 m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m＝2 kg的滑块(视为质点)以v₀＝6 m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动．小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s².

(1)试通过计算分析小车与墙壁碰撞时滑块与小车是否相对静止；

(2)要使滑块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，求半圆轨道的半径R的取值．

Answer

（1）4 m/s （2）R≤0.16m或R≥0.4m

【解析】

（1）设滑块与小车的共同速度为v1，滑块与小车相等运动过程中动量守恒：

Mv0=(m+M)v1

解得v1=4 m/s

设滑块与小车的相对位移为L1，由系统能量守恒有：

解得L1=2.4m

设与滑块相对静止时小车的位移为s1，根据动能定理有：

解得s1=1.6m

因L1＜L，s1＜s，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有钢铁速度，且共速时小车与墙壁还未发生碰撞，故小车与墙壁碰撞时的速度为v1=4 m/s

（2）小车与墙壁碰撞后滑块在车上继续向右做初速度v1=4 m/s、位移为L2=L-L1=1.6m的匀减速直线运动，然后滑上半圆轨道的最低点P。若滑块恰能滑过半圆轨道的最高点Q，设滑至最高点的速度为v，临界条件为：

根据动能定理：

联立解得R=0.16m

若滑块恰好滑至1/4圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿半圆轨道运动而不脱离半圆轨道。

根据动能定理：

解得R=0.4m

综上所述，要使滑块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，半圆轨道的半径必修满足的条件为：R≤0.16m或R≥0.4m