Question

如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l．水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=2m/s，物块A质量为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数为μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计，取g=10m/s²．求：

（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小．

（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度．

（3）调节PQ段的长度l，A仍以v₀从轨道右侧冲上轨道，当l满足什么条件时，A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道．

Answer

（1）2m/s．（2）0.2m．（3）1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．

【解析】

（1）物块A冲上圆形轨道后回到最低点速度为v0=m/s，
与弹簧接触瞬间，，
可得，物块A与弹簧刚接触时的速度大小m/s；
（2）A被弹簧以原速率v1弹回，向右经过PQ段，
有；

解得A速度 v2=2m/s，
A滑上圆形轨道，有，
（也可以应用 ）
可得，返回到右边轨道的高度为h=0.2m=R，符合实际．
（3）物块A以v0冲上轨道直到回到PQ段右侧，
有，
可得，A回到右侧速度：，
要使A能返回右侧轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道，则有：
①若A沿轨道上滑至最大高度h时，速度减为0，则h满足：0＜h≤R，
根据机械能守恒：

联立可得，1.0m≤l＜1.5m；
②若A能沿轨道上滑至最高点，则满足：且，
联立得 l≤0.25m，综上所述，要使A物块能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，
l满足的条件是1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m；