Question

如图甲所示，在竖直平面内存在竖直方向的匀强电场，在第一象限内有一与x轴相切于点、半径为R的圆形区域，该区域内存在垂直于面的匀强磁场，电场与磁场随时间变化如图乙、丙所示，设电场强度竖直向下为正方向，磁场垂直纸面向里为正方向，电场、磁场同步周期性变化（每个周期内正、反向时间相同）。一带正电的小球A沿y轴方向下落，t=0时刻A落至点，此时，另一带负电的小球B从圆形区域的最高点处开始在磁场内紧靠磁场边界做匀速圆周运动。当A球再下落R时，B球旋转半圈到达点；当A球到达原点O时，B球又旋转半圈回到最高点；然后A球开始做匀速运动。两球的质量均m，电荷量大小为q，不计空气阻力及两小球之间的作用力，重力加速度为g，求：

（1）匀强电场的场强E的大小；

（2）小球B做匀速圆周运动的周期T及匀强磁场的磁感应强度B的大小；

（3）电场、磁场变化第一个周期末A、B两球间的距离S。

Answer

（1）（2）（3）R

【解析】

(1)小球 B 做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，则有

Eq＝mg，解得

(2)设小球 B 的运动周期为 T，对小球 A：Eq＋mg＝ma，

解得 a＝2g；

由 R＝a()2，得

对 B 小球：

解得

(3)由题意分析可得：电(磁)场变化周期是 B 球做圆周运动周期的 2 倍

对小球 A：在原点的速度为 ，

在原点下的位移

2T 末，小球 A的坐标为(0，－5R)

对小球B：球 B 的线速度 vB＝π；

水平位移 xB＝vBT＝2πR；

竖直位移为 yB＝aT2＝2R；

2T 末，小球B的坐标为[(2π＋2)R，0]

则 2T 末，A、B两球的距离为： AB＝R。