Question

如图，光滑轨道abcd固定在竖直平面内，ab水平，bcd为半圆，在b处与ab相切。在直轨道ab上放着质量分别为m_A=2kg、m_B=1kg的物块A、B（均可视为质点），用轻质细绳将A、B连接在一起，且A、B间夹着一根被压缩的轻质弹簧（未被拴接），其弹性势能E_p=12J．轨道左侧的光滑水平地面上停着一质量M=2kg、长L=0.5m的小车，小车上表面与ab等高。现将细绳剪断，之后A向左滑上小车，B向右滑动且恰好能冲到圆弧轨道的最高点d处。已知A与小车之间的动摩擦因数µ满足0.1≤µ≤0.3，g取10m/s²，求

（1）A、B离开弹簧瞬间的速率v_A、v_B；

（2）圆弧轨道的半径R；

（3）A在小车上滑动过程中产生的热量Q（计算结果可含有µ）。

Answer

（1）4m/s（2）0.32m(3) 当满足0.1≤μ<0.2时，Q1=10μ ；当满足0.2≤μ≤0.3时，

【解析】

（1）弹簧恢复到自然长度时，根据动量守恒定律和能量守恒定律求解两物体的速度；

（2）根据能量守恒定律和牛顿第二定律结合求解圆弧轨道的半径R；

（3）根据动量守恒定律和能量关系求解恰好能共速的临界摩擦力因数的值，然后讨论求解热量Q.

（1）设弹簧恢复到自然长度时A、B 的速度分别为vA、vB， 由动量守恒定律： 由能量关系：

解得vA=2m/s；vB=4m/s

（2）设B经过d点时速度为vd，在d点：

由机械能守恒定律：

解得R=0.32m

（3）设μ=μ1时A恰好能滑到小车左端，其共同速度为v,由动量守恒定律：由能量关系：

解得μ1=0.2

讨论：

（ⅰ）当满足0.1≤μ<0.2时，A和小车不共速，A将从小车左端滑落，产生的热量为 （J）

（ⅱ）当满足0.2≤μ≤0.3时，A和小车能共速，产生的热量为，解得Q2=2J