Question

如图所示，足够长的光滑水平桌面与长度L=5.4m 的水平传送带平滑连接，传送带右端与半径r= 0.5m的光滑半圆轨道相切，半圆的直径CE竖直。A、B两小物块的质量分别为m_A=4kg、m_B=2kg，物块之间压缩着一根轻弹簧并用细绳锁定。当A、B在桌面上向右运动的速度υ₁＝1m/s时，细线断裂，弹簧脱离两物块后，A继续向右运动，并在静止的传送带上滑行了s=1.8m。已知物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度g = 10m/s²。求

(1)细线断裂后，弹簧释放的弹性势能E_P ；

(2)若在物块A滑上传送带时，传送带立即以速度υ₁＝1m/s逆时针匀速运动，求物块与传送带之间因摩擦产生的热量Q₁；

(3)若物块A滑仁传送带时，传送带立即以速度υ₂顺时针匀速运动，为使A能冲上圆轨道，并通过最高点E，求υ₂的取值范围，并作出物块与传送带之间因摩擦产生的热量Q₂与υ₂的关系图。（作图不需要推导过程，标示出关键点的横、纵坐标）

Answer

(1) Ep=24J(2) Q1= 32J (3) v2≥5m/s

【解析】

（1）设A、B与弹簧分离时的速度分别为vA、vB，以向右为正方向，由动量守恒定律

（mA+mB）v=mAvA+mBvB

A在桌面上运动，由动能定理

-μmAgs=0-

联立解得

vA=3m/s

vB=-3m/s

弹簧释放的弹性势能为

Ep=+-

解得Ep=24J ；

（2）A在传送带上向右减速，速度减为零后又向左加速，直到与传送带共速，之后向左离开传送带。设相对运动的时间为M加速度大小为

a=μg=2.5m/s2

由运动学公式

-v1=vA-at1

A的位移

传送带的位移

x带1=（-v1）·t1

滑块与传送带问的相对运动的路程为s1=x1-x带1

解得

摩擦生热Q1=μmAgs1=32J

（3）若传送带速度足够大，A将一直加速，此时A冲上圆轨道的速度最大。由运动学公式

解得vmax=6m/s

当A刚好能到达E点时，A冲上圆轨道的速度最小。在E点，由牛顿第二定律

mg=m

A由C运动到E，由机械能守恒定律

mg·2r=

联立解得vmin=5m/s

综上，v2≥5m/s

摩擦生热Q2与v2的关系如图

（i）当5m/s≤v2＜6m/s时，A在传送带上先加速后匀速运动。A加速的位移

x2=

A加速的时间t2=

传送带的位移x带2=v2t2=

A传送带的相对运动的路程

s2=x带2-x2=

解得 Q2=μmAgs2=2J

（ii）当v2＞6m/s时，A在传送带上将一直加速。

A加速的位移=L=5.4m

A加速度的时间==1.2s

传送带的位移x带2′=v2t2′=1.2v2

A和传送带的相对运动的路程

s2′=x带2′-=（1.2v2-5.4）m

解得Q2′=μmAgs2′=（12v2-54）J

综上，Q2=2J（5m/s≤v2＜6m/s），（12v2-54）J（v2≥6m/s）。