Question

如图所示，倾角为θ的足够长的斜面上，质量为m的物块a恰好静止在距离斜面顶端A点为l的位置。质量也为m的光滑物块b从斜面顶端A点由静止释放，与物块a发生瞬间弹性碰撞。已知物块a与物块b均可视为质点，每次碰撞都是瞬间弹性碰撞，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则

(1)物块b与物块a第一次碰撞后，速度分别多大?

(2)物块b与物块a第一次碰撞后，经过多长时间第二次碰撞?两次相碰间隔多远?

(3)设斜面上有一点B(图上未画出)，AB之间粗糙程度相同，B点以下是光滑的，要使物块b与物块a仅发生三次碰撞，AB之间的距离应该在什么范围内?

Answer

(1)；(2)4l (3)

【解析】

（1）物块b光滑，故沿着斜面下滑时的加速度，设与物块第一次碰撞前瞬时速度为，有，解得，由于每次碰撞都是瞬间 弹性碰撞，故满足动量守恒和能量守恒，即:，，解得，第一次碰撞后，物块的速度，物块b的速度；

（2）由题意，物块恰好静止在斜面上，可知物块与斜面间的动摩擦因数，第一次碰撞后，物块做匀速直线运动，物块b做初速度为零的匀加速直线运动，设经过时间第二次碰撞，则有，解得，两次相碰间隔；

（3）由前面的分析可知，第二次碰撞前物块的瞬时速度，物块b的瞬时速度，解得，根据前面的分析，碰撞之后交换速度，物块的瞬时速度变为，物块b的瞬时速度变为，之后物块又以的速度做匀速直线运动，物块b以的初速度做匀加速度直线运动。①若第三次碰撞在斜面上点的下方，第二次碰撞后物块到达点时，物块b的速度大于物块的速度，以后a、b加速度大小相同，一定能恰好发生第三次碰撞，设第二次碰撞后到物块到达点所用时间为，则有，解得：，，可得；②若第三次碰撞在斜面上点的上方，第二次碰撞到第三次碰撞所用时间仍为，两次碰撞之间的间隔为，设第三次碰撞前物块b的瞬时速度为，，得，碰撞后交换速度，物块的速度变为，物块b的速度变为，之后物块做匀速直线运动，物块b做匀加速直线运动，当物块到达点时，物块b的速度仍不超过物块的速度，物块离开点后两物块的加速度相同，不会发生第四次碰撞。设第三次碰撞后到物块到达点所用时间为t2，则有，解得，，可得，

之间距离应该为。