Question

如图（甲）所示，光滑导体轨道 PMN和 P'M'N'是两个完全相同的轨道，都由半径为 r 的四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，圆弧轨道与水平轨道在 M 和 M'点相切，两轨道并列平行放置，MN 和 M'N'位于同一水平面上，两轨道之间的距离为L，PP'之间有一个阻 值为 R 的电阻，开关 S 是一个感应开关（开始时开关是断开的），MNN'M'是一个矩形区域 内有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，水平轨道 MN 离水平地面的高度为 h，其截面 图如图（乙）所示.金属棒 a和 b质量均为m、电阻均为R.将金属棒 b 静止放置于水平轨 道某位置，将金属棒 a从圆弧顶端静止释放后，沿圆弧轨道下滑，若两导体棒在运动中始终 不接触。当两棒的速度稳定时，两棒距离，两棒速度稳定之后，再经过一段时间，金属棒 b离开轨道做平抛运动，在棒 b 离开轨道瞬间，开关 S闭合.不计一切摩擦和导轨电阻，已知重力加速度为 g.求：

(1)两棒速度稳定时，两棒的速度分别是多少？

(2)两棒落到地面后的距离是多少？

(3)整个过程中，两棒产生的焦耳热分别是多少？

Answer

（1） ， (2) (3) ,

【解析】

（1）a棒沿圆弧轨道运动到最低点M时，由机械能守恒定律得：

解得a棒沿圆弧轨道最低点M时的速度

a棒向b棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，产生感应电流。a棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，b棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要a棒的速度大于b棒的速度，回路总有感应电流，a棒继续减速，b棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动。

从a棒进入水平轨道开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒在水平方向受到的安培力总是大小相等，方向相反，所以两棒的总动量守恒。

由动量守恒定律得：

解得两棒以相同的速度做匀速运动的速度

（2）经过一段时间，b棒离开轨道后，a棒与电阻R组成回路，从b棒离开轨道到a棒离开轨道过程中a棒受到安培力的冲量

由动量定理：

解得

由平抛运动规律得：两棒落到地面后的距离

（3）b棒离开轨道前，两棒通过的电流大小总是相等，两棒产生的焦耳热相等

由能量守恒定律可知：

解得：

b棒离开轨道后，a棒与电阻R通过的电流大小总是相等，两都产生的焦耳热相等

由能量守恒定律可知：

解得：

所以整个过程中，a棒产生的焦耳热