Question

​如图所示,一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处,B为轨道最高点,C、D为圆的水平直径两端点．轻质弹簧的一端固定在圆心O点, 已知弹簧的劲度系数为k=mg/R，原长为L=2R，弹性限度内，若给小球一水平初速度v₀,已知重力加速度为g,则（  ）

A.无论v₀多大，小球均不会离开圆轨道

B.若在则小球会在B.D间脱离圆轨道

C.只要，小球就能做完整的圆周运动.

D.只要小球能做完整圆周运动,则小球与轨道间最大压力与最小压力之差恒为6mg

Answer

ACD

【解析】

AB．弹簧的劲度系数为，原长为L=2R，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为F=k（L-R）=kR=mg，方向始终背离圆心，无论小球在CD以上的哪个位置速度为零，重力在沿半径方向上的分量都小于等于弹簧的弹力（在CD以下，轨道对小球一定有指向圆心的支持力），所以无论v0多大，小球均不会离开圆轨道。故A符合题意，B不符合题意。

C．小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零，在最低点的速度最小，有，解得：

所以只要，小球就能做完整的圆周运动，故C符合题意。

D．在最低点时，设小球受到的支持力为N，根据牛顿第二定律有：，解得：

运动到最高点时受到轨道的支持力最小，设为N′，设此时的速度为v，由机械能守恒有：，此时合外力提供向心力，有：，可得：。联立可得压力差为：△N=6mg，与初速度无关。故D符合题意。