Question

如图所示，一块质量为M、长为l的匀质板放在很长的水平桌面上，板的左端有一质量为m的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮并与桌面平行，某人以恒定的速度v向下拉绳，物块最多只能到达板的中点，且此时板的右端距离桌边定滑轮足够远．求：

（1）若板与桌面间光滑，物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中点时板的位移．

（2）若板与桌面间有摩擦，为使物块能到达板右端，板与桌面的动摩擦因数的范围．

（3）若板与桌面间的动摩擦因数取（2）问中的最小值，在物块从板的左端运动到右端的过程中，人拉绳的力所做的功（其他阻力均不计）．

Answer

（1）、．（2）μ2 ≥．（3）2Mv2．

【解析】

（1）板在摩擦力作用下向右做匀加速运动直至与物块速度相同，此时物块刚到达板的中点，设木板加速度为a1，运动时间为t1，对木板有：

μ1mg=Ma

v=a1t1

故

设在此过程中物块前进位移为s1，板前进位移为s2，则

s1=vt1

又因为

由以上几式可得物块与板间的动摩擦因数

板的位移

．

（2）设板与桌面间的动摩擦因数为μ2，物块在板上滑行的时间为t2，木板的加速度为a2，对板有

μ1mg-μ2（m+M） g=Ma2，

且

v=a2t2

解得：

又设物块从板的左端运动到右端的时间为t3，则：

为了使物块能到达板的右端，必须满足：

t2≥t3

即：

则：

所以为了使物块能到达板的右端，板与桌面间的摩擦因数为：．

（3）设绳子的拉力为T，物块从板的左端到达右端的过程中物块的位移为s3，则有：

T-μ1mg=0

s3=vt3=2l

由功的计算公式得：

WT=Ts3=2Mv2

所以绳的拉力做功为2Mv2．

（或W=△E，W=Mv2+μ1mgl+μ2(M+m)gl＝2Mv2）