Question

如图所示，倾角为的轨道底端挡板上固连一轻质弹簧，弹簧另一端与质量为m 的小滑块A固连，弹簧处于原长，滑块A静止于O点.现有与A完全相同的小滑块B沿轨道以大小v₀的速度匀速下滑，并与A滑块发生碰撞，最终滑块B静止于O点上方L处.巳知A、B间的碰撞时间极短且是弹性碰撞，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g.

（1）求弹簧的最大压缩量x_m；

（2）现将滑块B换成质量为的小滑块C，C以及v₀的速度匀速下滑，与A发生碰撞并瞬间连成一个整体，若AC整体能回到O点，求AC整体第一次向上通过O点时的速度大小.

Answer

(1)xm= (2) v2=

【解析】

（1）设滑块A、B第一次碰后瞬间的速度大小分别为vA1、vB1

对A、B第一次碰撞，由动量守恒定律有：

mv0=mvA1+vB1 ①

=+ ②

由①②式可得：

vA1=v0

vB1=0

所以第一次碰后滑块将交换速度，A以v0大小的速度压缩弹簧，B将静止在O点；同理第二次碰撞后滑块A将静止在O点，B将沿轨道减速滑动.

对滑块A、B及弹簧组成的系统，从A、B第一次碰撞到最后两者静止过程中，由功能关系可得：

mgLsin-=-2fAxm-fBL ③

由题意知：

fA=fB=mgsin ④

由③④式可得：

xm=

（2）设滑块碰后瞬间的速度大小为v1

由动量守恒定律有

⑤

解得：

v1=

所以AC整体开始压缩弹簧前的动能为Ek=，与（1）中弹簧被压缩前A的动能相等；又由于AC下滑过程中摩擦力和重力的功代数和为零，滑块的动能转化为弹簧的弹性势能，故两种情形下弹簧的最大压缩 量相等. 设AC整体第一次向上通过O点时的速度大小为v2，从AC开始压缩弹簧到AC回到O点过程中，由动能定理有：

-=-2（m+）gsinxm ⑥

带入数据解得：

v2=