Question

如图所示，两根间距为L的光滑金属导轨CMM′P′P、DNN′Q′Q固定放置，导轨MN左侧部分向上弯曲，右侧水平。在导轨水平部分的左右两端分布着两个匀强磁场区域MM′N′N、P′PQQ′，区域长度均为d，磁感应强度大小均为B，Ⅰ区方向竖直向上，Ⅱ区方向竖直向下，金属棒b静止在区域Ⅱ的中央，b棒所在的轨道贴一较小的粘性纸片（其余部分没有），它对b棒的粘滞力为b棒重力的k倍，现将a棒从高度为h₀处静止释放，a棒刚一进入区域Ⅰ时b棒恰好可以开始运动，已知a棒质量为m，b棒质量为2m，a、b棒均与导轨垂直，电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g，则

(1)h₀应为多少？

(2)将a棒从高度小于h₀的某处静止释放，使其以速度v₁（v₁为已知量）进入区域Ⅰ，且能够与b棒发生碰撞。求从开始释放a棒到a、b两棒刚要发生碰撞的过程中，a棒产生的焦耳热。

(3)调整两磁场区域间的距离使其足够远（区域大小不变），将a棒从高度大于h₀的某处静止释放，使其以速度v₂（v₂为已知量）进入区域Ⅰ，经时间t₀后从区域Ⅰ穿出，穿出时的速度为v₂，请在同一直角坐标系中画出“从a棒进入磁场开始，到a、b两棒相碰前”的过程中，两棒的速度—时间图象（必须标出t₀时刻b棒的速度，规定向右为正方向）。

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

(1)设棒刚进入区域Ⅰ时的速度为，由机械能守恒得：

由棒恰好开始运动时受力平衡得

解得：

(2)设棒穿出区域Ⅰ时的速度为，与棒相碰前的速度为，则有：

联立可得：

棒产生的焦耳热：

可得：

(3)①判断时刻棒能否穿出区域Ⅱ，假定不能穿出区域Ⅱ，并设时的速度大小为，阶段、棒受到的冲量相等，有：

解得：

因，故有：

所以假设成立，即在棒穿出Ⅰ区时棒尚在Ⅱ区；

②判断后，棒能否穿出区域Ⅱ，假定棒不能穿出区域Ⅱ

因，则有：

即：

所以：

设在前后棒在区域Ⅱ中走过的距离分别为、，则有：

解得：

所以假设不成立，即棒能穿出区域Ⅱ且速度不为零；

两棒的速度-时间图象如图所示：