Question

如图所示,有一发射器正对竖直轴OO＇并绕轴高速旋转的纸质圆筒B水平变速发射质量为m₁＝0.01kg的子弹A,子弹A运动中穿过圆筒B且只在B上留下一个弹孔,子弹穿过B后击中质量为m₂＝0.99kg的木块C并留在C中(A、C可视为质点),C在长木板D的左端,已知D的质量m₃＝3kg、长度L₁＝0.375m且处在光滑的水平桌面上;水平桌面的右端有一很薄的与D等高的固定挡板E,D的右端到E的距离L₂＝0.125m,D碰到E即被锁定,此后C可能飞到桌面下方的水平地面上;已知纸质圆筒直径d＝30cm、匀速旋转的角速度ω＝π×10³rad/s,C与D之间的动摩擦因数μ＝0.1,D的上表面距离地面高H＝5m,子弹穿过纸筒的过程中所受的摩擦力忽略不计,取g＝10m/s².

(1)为了让子弹穿过纸质圆筒的时间尽可能短,变速发射器可发射的三级初速度分别是多少？

(2)在三级初速度发射的子弹中,最终能否与长木板D达到共同速度?在能与D达到共速情形时A、C整体能否落到地面上?若能,A、C整体落到地面上距桌边的距离多大?

Answer

(1)300m/s、100m/s、60m/s

(2)若子弹的初速度是300m/s,则A、C整体不能与D达到共同速度;若子弹的初速度是100m/s,则A、C整体能与D达到共同速度,落到水平地面上的距离为0.25m;若子弹的初速度是60m/s,A、C整体能与D达到共同速度,不能做平抛运动,最终A、C整体减停在长木板上.

【解析】

(1)子弹穿过纸质圆筒后只留下一个弹孔,且穿过纸筒的时间尽可能的短,纸筒转过的角度应满足:

α＝(2n＋1)π(n取0、1、2)………………………①

子弹穿过纸质圆筒的时间为:

t＝ ……………………………②

则子弹的速度为:

v＝ ＝ ……………………………③

把n＝0、1、2分别代入③式得子弹的速度分别为:

v1＝300m/s,v2＝100m/s,v3＝60m/s………………………………④

(2)设子弹A打入C后,A、C整体的共同速度为v11,由动量守恒定律得:

m1v＝(m1＋m2)v11…………………………………………………⑤

假设A、C整体能够与D达到的共同速度为v22,由动量守恒定律得:

(m1＋m2)v11＝(m1＋m2＋m3)v22……………………………………⑥

设此过程中A、C整体相对于D滑动的位移是x1,由能量守恒定律得:

μ(m1＋m2)gx1＝ (m1＋m2)v112－ (m1＋m2＋m3)v222………………⑦

联立⑤⑥⑦得:

x1＝ …………………⑧

讨论:

Ⅰ.当v＝v1＝300m/s时,代入⑧式得:

x1＝3.375m>L1

说明此种情况下A、C整体与D不能共速.

Ⅱ.当v＝v2＝100m/s时,代入⑧式得:

x1＝0.375m＝L1

说明此种情况下A、C整体刚好没有滑离D.设此过程中D相对桌面的位移是y1,由动能定理得:

μ(m1＋m2)gy1＝ m3v222………⑨

联立④⑤⑥⑨式,并代入数据得:

v22＝0.25m/s,y1＝0.09375m<0.125m＝L2……………⑩

则A、C整体刚好滑到D的右端时,还没有与E碰撞,说明此种情况下A、C整体能与D共速,当D与E碰撞并锁定后,A、C整体做平抛运动,设落到水平地面上的距离为s,由平抛运动知识得:

t＝＝1s，s＝v22t＝0.25×1m＝0.25m…………………………⑪

Ⅲ.当v＝v3＝60m/s时,代入⑧式得:

x1＝0.135m