Question

科技馆有一套儿童喜爱的机械装置，其结构简图如下：传动带AB部分水平，其长度L=1.2m，传送带以3m/s的速度顺时针匀速转动，大皮带轮半径r=0.4m，其下端C点与圆弧轨道DEF的D点在同一水平线上，E点为圆弧轨道的最低点，圆弧EF对应的圆心角θ=且圆弧的半径R=0.5m，F点和倾斜传送带GH的下端G点平滑连接，倾斜传送带GH长为x=4.45m，其倾角θ=。某同学将一质量为0.5kg且可以视为质点的物块静止放在水平传送带左端A处，物块经过B点后恰能无碰撞地从D点进入圆弧轨道部分，当经过F点时，圆弧对物块支持力N=29.0N，然后物块滑上倾斜传送带GH。已知物块与所有的接触面间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin=0.6，cos=0.8,，求：

（1）物块由A到B所经历的时间；

（2）DE弧对应的圆心角为多少；

（3）若要物块能被送到H端，则倾斜传动带顺时针运转的速度最小值v_min为多少。

Answer

（1）0.7s（2）（3）4m/s

【解析】

(1) 放在水平传送带上的物体受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛顿第二定律得：

所以

物体加速到3m/s的时间：

在加速阶段的位移

物体做匀速直线运动的时间

物块由A到B所经历的时间

(2)若物体能在B点恰好离开传送带做平抛运动，则满足：

所以

所以物体能够在B点离开传送带做平抛运动，平抛运动的时间：

到达D点时物体沿竖直方向的分速度

到达D点时物体的速度与水平方向之间的夹角

所以

即DE弧对应的圆心角α为

(3)物体在F点时，支持力与重力的分力提供向心力得

代入数据得

物体在倾斜的传送带上受到重力、支持力和滑动摩擦力的作用，滑动摩擦力：

重力沿斜面向下的分力

可知物体不可能相对于传送带静止，所以物体在传送带上将一直做减速运动．物体恰好到达H点时的速度为0，若传送带的速度小于物体在F点的速度，则物体先相对于传送带向上运动，受到的摩擦力的方向向下；当物体的速度小于传送带的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物体继续向上做减速运动，加速度的大小发生变化，设物体恰好能到达H点时，传送带的速度是vmin，且vmin＜v3，物体到达H点的速度为0，物体的速度大于传送带的速度时，物体受到的摩擦力的方向向下，此时：

则

物体的速度小于传送带的速度时，物体受到的摩擦力的方向向上，则：

物体向上的减速运动若反过来看，也可以是向下是加速运动，初速度为0，末速度为v3，设下面的一段时间为t4，上面的一段时间为t5，可得：

联立以上三式，代入数据得