Question

弹珠游戏在孩子们中间很受欢迎，有很多种玩法，其中一种玩法就是比距离，模型如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和光滑直管BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R＝1.0 m，BC段长L₁＝1.5m。弹射装置将一个质量m=100g小球(可视为质点)以v₀＝8m/s的水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道随即进入长L₂=2m，μ=0.1的粗糙水平地面（图上对应为CD），最后通过光滑轨道DE，从E点水平射出，已知E距离地面的高度为h=1m，不计空气阻力。求：

（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω和到达C点时对圆管的压力；

（2）若小球能从A点运动到E点，则小球进入A点的速度至少为多大；

（3）若E点的高度h可以调节，小球仍以v₀＝8m/s从A进入，当h多高时，水平射程x最大，并求出这个最大值．

Answer

（1）8rad/s ，1N（2）2m/s（3）h=1.5m , x=3m

【解析】

（1）角速度

（rad/s）

小球在BC段做匀速直线运动，合外力为0，根据牛顿运动定律，小球处于平衡态，G=Fn，支持力为1N，根据牛顿第三定律，支持力和压力属于作用力与反作用力，大小相等。所以对圆管的压力为1N.

（2）小球从A点到E点根据动能定理满足：

得速度

（3）小球从A点到E点根据动能定理满足：

得：

过了E点小球做平抛：

得到x与h的数学关系：

即当h=1.5m 时，x的最大值为x=3m