Question

如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑 圆弧管道 BC 连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内 侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为 R，重力加速度为 g，小球与斜轨 AB 及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为 0.5，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R.(sin37^°=0.6，cos37^°=0.8)求：

(1)小球对刚到C时对轨道的作用力；

(2)要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径 R′应该满足什么条件？若R′=2.5R，小球最后所停位置距D(或E)多远？（注：在运算中，根号中的数值无需算出）

Answer

(1) 球对轨道的作用力为6.6mg，方向竖直向下 (2)b球将停在D点左侧，距D点0.6R处

【解析】

（1）设小球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有： 

可得：

小球沿BC轨道做圆周运动，设在C点时轨道对球的作用力为N，由牛顿第二定律，有： 

其中r满足： 

r+r•sin53°=1.8R 

联立上式可得： 

N=6.6mg 

由牛顿第三定律可得，球对轨道的作用力为6.6mg，方向竖直向下．

（2）球不脱离轨道，有两种情况： 

情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球在最高点P应满足： 

小球从C直到P点过程，由动能定理，有： 

可得： 

情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．则由动能定理有： 

解得：

R'=2.3R 

要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R'应该满足：R'=0.92R或R'=2.3R；

若R'=2.5R，由上面分析可知，小球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道，并沿CB运动到达B点，在B点的速度为vB，则由能量守恒定律有： 

可得：

故知，小球不能滑回倾斜轨道AB，小球将在两圆轨道之间做往返运动，小球将停在CD轨道上的某处．设小球在CD轨道上运动的总路程为S，则由能量守恒定律，有： 

联立两式可得：

 S=5.6R

所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处