Question

如图，两根相距的平行金属导轨OC，，水平放置于匀强磁场中，磁场方向水平向左，磁感应强度。导轨右端O、连接着与水平面成30º的光滑平行导轨OD、，OC与OD、与分别位于同一竖直平面内，垂直于OC、倾斜导轨间存在一匀强磁场，磁场方向垂直于导轨向上，磁感应强度两根与倾斜导轨垂直的金属杆M、N被固定在导轨上，M、N的质量均为，电阻均为，杆与水平导轨间的动摩擦因数为。现将M杆从距边界处静止释放，已知M杆到达边界前已开始做匀速运动。当M杆一到达边界时，使N杆在一平行导轨向下的外力F作用下，开始做加速度为的匀加速运动。导轨电阻不计，g取。

（1）求M杆下滑过程中，M杆产生的焦耳热Q；

（2）求N杆下滑过程中，外力F与时间t的函数关系；

（3）已知M杆停止时，N杆仍在斜面上，求N杆运动的位移；

（4）已知M杆进入水平轨道直到停止的过程中，外力F对N杆所做的功为15J，求这一过程中系统产生的总热量。

Answer

（1）18.75J；（2）；（3）3m；（4）24.5J。

【解析】

（1）M杆匀速运动时受力平衡，由平衡条件可求出M杆匀速运动时的速度，再由能量守恒定律求解M杆产生的焦耳热

（2）N杆下滑时做匀加速运动，根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系列式，可求出F与t的关系式。

（3）N杆在斜轨道上滑行的过程中，M杆在水平面上做减速运动。对M杆，根据牛顿第二定律列式可得到加速度与时间的关系，作出M杆的加速度与时间的图象，图象与时间轴所围成的面积表示M杆速度的变化量，根据速度的变化量大小得到M杆停止时所用时间，根据两杆运动的同时性，得到N杆的运动时间，再由位移时间公式求出N杆运动的位移s。

（4）这一过程中系统产生的总热量等于M杆摩擦产生的热量和N杆产生的焦耳热之和，根据功能关系分别求解得出。

（1）M杆下滑过程中受到的安培力

M杆匀速运动时速度最大，此时受力平衡，由平衡条件可得

代入数据解得

根据能量守恒有

代入数据解得

M杆产生的焦耳热

（2）N杆下滑时做匀加速运动，t时刻所受的安培力大小

由牛顿第二定律得：

联立代入数据解得：

所以N杆下滑过程中，外力F与时间t的函数关系为。

（3）N杆在斜轨道滑行中，M杆在水平面上做减速运动，根据牛顿第二定律有：

代入数据解得：

，

即N杆作加速度逐渐增大的减速运动。

作出N杆加速度与时间的图象，如图所示：

可知图中围成的面积是N杆速度的变化量，当N杆停止时，速度的改变量大小为

设N杆经过时间t恰好停止运动，则有：

代入数据解得：

t=1s

所以N杆在这一秒内运动的位移为：

（4）M杆和水平轨道由于摩擦产生的热量即为M杆克服摩擦力所做的功：

代入数据解得：

对于N杆，根据动能定理得：

速度，代入数据解得

所以两金属棒共同产生的焦耳热

这一过程中系统产生的总热量