Question

如图所示为某种游戏装置的示意图，水平导轨MN和PQ分别与水平传送带左侧和右侧理想连接，竖直圆形轨道与PQ相切于Q。已知传送带长L＝4.0m，且沿顺时针方向以恒定速率v＝3.0m/s匀速转动。两个质量均为m的滑块B、C静止置于水平导轨MN上，它们之间有一处于原长的轻弹簧，且弹簧与B连接但不与C连接。另一质量也为m的滑块A以初速度v₀沿B、C连线方向向B运动，A与B碰撞后粘合在一起，碰撞时间极短。若C距离N足够远，滑块C脱离弹簧后以速度v_C＝2.0m/s滑上传送带，并恰好停在Q点。已知滑块C与传送带及PQ之间的动摩擦因数均为μ＝0.20，装置其余部分均可视为光滑，重力加速度g取10m/s²。求：

（1）PQ的距离和v₀的大小；

（2）已知竖直圆轨道半径为0.55m，若要使C不脱离竖直圆轨道，求v₀的范围。

Answer

(1) 2.25m ,3m/s (2) 3 m/s≦v0≤9m/s或v0≥m/s

【解析】

(1) A与B碰撞过程动量守恒有：

接着AB整体压缩弹簧后弹簧恢复原长时，C脱离弹簧，这个过程有：

代入数据联立解得：v0=3m/s；

因为传送带速度大于C滑上去的速度，故设C滑上传送带后一直加速，则：

解得：

所以C在传送带上一定先加速后匀速，滑上PQ的速度v＝3m/s，又因为恰好停在Q点，则有：

代入数据解得：xPQ＝2.25m

(2)要使C不脱离圆轨道，有两种情况，一是最多恰能到达圆心等高处，二是至少到达最高处；若恰能到达圆心等高处，则得：

可得：

vQ＝m/s>v

所以此情况下C在传送带上全程减速，由N～Q段有：

可得 vC＝6m/s；在A、B碰撞及与弹簧作用的过程中，则有：

联立方程可解得：v0＝9m/s，因为v0=3m/s时物块C刚好能到达Q点, 所以这种情下，A的初速度范围是：

3 m/s≤v0≤9m/s

若C恰能到达最高点，则在最高点有：

从Q运动到最高点的过程，由机械能守恒定律得：

则得：vQ＝m/s​ ，同理可得A的初速度范围是：

综上所述所以v0的范围是3 m/s≤v0≤9m/s 或

答：（1）PQ的距离2.25m和v0的大小3m/s；

（2）若要使C不脱离竖直圆轨道，v0的范围是3 m/s≤v0≤9m/s 或.