Question

如图所示，劲度系数为k的较弹簧一端固定水平面上，另一端与质量为m的物块A相连接处于直立状态。细绳跨过一固定光滑定滑轮，一端系在物体A上，另一端连接一个不计质量的小挂钩。小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态。在小挂钩上轻轻挂上一个质量为2m的物块B并由静止释放后，物块A开始向上运动，运动过程中B始终未接触地面，弹簧的形变始终在弹性限度内。已知重力加速度为g。求：

（1）设物块A上升通过Q点位置时速度最大，求Q点到出发点的距离x₀及最大速度v_m；

（2）若物块的质量增大为原来的N倍，试分析说明不管N多大，物块A上升到Q点时的速度都不可能增大到2v_m；

（3）若把物块B撤掉，在小挂钩上施加一个竖直向下的外力F（未知），使物块A由静止向上做匀加速直线运动，经过时间t上升到Q点，求此过程外力做的功。

Answer

（1） vm= （2） 不可能 （3）

【解析】

（1）小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态，设弹簧的压缩量为x1，根据平衡条件有：

mg=kx1

得：

x1=

挂上物块B后，A开始向上加速运动，加速度逐渐减小，当加速度减小为零时，弹簧必然处于拉伸状态，物块A到达Q位置，此时速度达到最大。设弹簧的伸长量为x2，有：

2mg-mg-kx2=0

得：

x2=

x0=x1+x2=

物块A在出发点位置和Q位置，弹簧形变量相同，弹性势能相等，根据功能关系得：

（2mg-mg）·x0=

解得：

vm=

（2）若物块B的质量增大为原来的N倍，因为根据功能关系得：

（2Nmg-mg）·x0=

解得：

v1=

当N→∞时，

v1=

而

2vm=

显然

v1=＜2vm

所以不管N多大，物块A上升到Q点时的速度都不可能增大到2vm 。

（3）物块A由静止向上做匀加速直线运动，上升到Q点时的速度为v′，根据运动学公式有：

解得：

v′=

此过程根据功能关系，有：

WF-mgx0=

解得：

WF=