Question

如图所示，边长为m的正方形桌面距离水平地面的高度为0.8m，在桌面上固定一倾角为37°的斜面轨道，轨道底端与半径R=0.3m的水平放置光滑圆弧管道平滑连接，管道圆心位置与桌面中心O重合，管道弧长可调节。现从斜面轨道上距桌面高0.15m处由静止释放质量m=0.03kg的小滑块（可看做质点），滑块进入圆弧管道时的速度为m/s，离开管道后在桌面上继续向前运动，运动到桌面边缘后落到地面上。滑块运动过程中与倾斜轨道、水平桌面间的阻力均为其所受支持力的k倍，忽略管道本身大小及滑块在进出管道时速度的变化。已知sin37°=0.6，求：（结果可以保留根号）

（1）k的大小；

（2）圆弧管道对滑块的作用力大小；

（3）调节管道弧长，滑块离开管道后在桌面上运动的最长时间；

（4）调节管道弧长，滑块落地点与圆心O的水平距离的最大值。

Answer

（1）0.25（2）0.36N（3）0.57s（4）0.67m

【解析】

（1）匀加速过程的位移为：

末速度为：

根据匀变速直线运动的速度位移公式有：

根据牛顿第二定律有：

代入数据得：

（2）水平方向：

竖直方向上：

所以作用力

（3）滑块离开管道后在桌面上做匀减速直线运动，初速度为：

加速度大小为：

能滑行的最长时间为：

检验：当运动距离最长时对应的时间最长，分析知从桌角处滑行时有最长的运动距离，求得最长距离

匀减速运动的最大位移为：

比较知滑块运动到桌角处时速度恰好为零，上述结论成立；

（4）设滑块离开桌面时的速度大小为v2，在桌面运动的距离为

滑块在空中运动的时间为：t=0.4s，滑块在水平方向的距离为：

因此

当时，

根据勾股定理，落地点距离O点也最远,最远距离