Question

某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到D点停下。已知轿车在A点的速度v₀=72km/h，AB长L₁=l50m；BC为四分之一水平圆弧段，限速（允许通过的最大速度）v=36km/h，轮胎与BC段路面间的动摩擦因μ=0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段长L₂=50m，重力加速度g取l0m/s²。

（1）若轿车到达B点速度刚好为v=36km/h，求轿车在AB下坡段加速度的大小；

（2）为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值及轿车A点到D点全程的最短时间。

Answer

(1)1m/s2；(2)

【解析】

由题图可知，考查了运动学与动力学综合问题。根据物体的运动状态，进行受力分析和运动分析，分段讨论：

（1）轿车在AB段做匀减速直线运动，已知初速度、位移和末速度，根据速度位移关系公式求解加速度。

（2）轿车在BC段做匀速圆周运动，由静摩擦力充当向心力，为保证行车安全，车轮不打滑，所需要的向心力不大于最大静摩擦力，据此列式求解半径R的最小值。分三段，分别由运动学公式求解时间，即可得到总时间。

【解析】
（1）轿车在AB段做匀减速直线运动，有：；

得加速度大小为。

（2）轿车在圆弧路段做圆周运动，由静摩擦力充当向心力，为保证安全，则有；

又

联立解得

故水平圆弧段BC半径R的最小值是20m。

设AB段运动时间为t1，BC段匀速圆周运动的时间为t2，CD段匀减速直线运动的时间为t3，全程所用最短时间为t。则，

得；

，得；

，得；

故