Question

如图所示，一根轻弹簧左端固定于竖直墙上，右端被质量可视为质点的小物块压缩而处于静止状态，且弹簧与物块不栓接，弹簧原长小于光滑平台的长度．在平台的右端有一传送带， 长，物块与传送带间的动摩擦因数，与传送带相邻的粗糙水平面长s=1.5m，它与物块间的动摩擦因数，在C点右侧有一半径为R的光滑竖直圆弧与平滑连接，圆弧对应的圆心角为，在圆弧的最高点F处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来．若传送带以的速率顺时针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失．当弹簧储存的能量全部释放时，小物块恰能滑到与圆心等高的点，取．

（1） 求右侧圆弧的轨道半径为R;

（2） 求小物块最终停下时与C点的距离;

（3） 若传送带的速度大小可调，欲使小物块与挡板只碰一次，且碰后不脱离轨道，求传送带速度的可调节范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）物块被弹簧弹出，由，可知：

因为，故物块滑上传送带后先减速物块与传送带相对滑动过程中，

由：，，

得到：，，

因为，故物块与传送带同速后相对静止，最后物块以的速度滑上水平面BC，物块滑离传送带后恰到E点，由动能定理可知：

代入数据整理可以得到：．

（2）设物块从E点返回至B点的速度为，由

得到，因为，故物块会再次滑上传送带，物块在恒定摩擦力的作用下先减速至0再反向加速，由运动的对称性可知其以相同的速率离开传送带，设最终停在距C点x处，由，得到：.

（3）设传送带速度为时物块能恰到F点，在F点满足

从B到F过程中由动能定理可知：

解得：

设传送带速度为时，物块撞挡板后返回能再次上滑恰到E点，

由：

解得：

若物块在传送带上一直加速运动，由

知其到B点的最大速度

综合上述分析可知，只要传送带速度就满足条件．