Question

如图所示，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直面内，开口向上，两端点A、B连线水平，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道也在竖直面内，C端在B点正上方，D端的切线水平。一个质量为m的小球从A点正上方由静止下落，从A点进入半圆轨道后从B点飞出再进入四分之一圆弧轨道，重力加速度为g。

（1）要使小球从D点飞出后刚好从A点进入轨道，则BC间的高度最大为多少?

（2）若BC间的高度为1．5R，小球从D点飞出后恰好从A点进入半圆轨道，则小球从A点正上方落下进入半圆轨道运动到最低点时对轨道的压力多大?

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据向心力公式求出D点的速度，然后根据平抛运动规律进行求解即可；

（2）根据平抛运动求出D点的速度，然后根据机械能守恒求解最低点的速度，最后根据牛顿第二定律求解最低点对轨道的压力；

（1）小球从D点抛出刚好落在A点，做平抛运动的水平位移恒为，BC间的高度越大，平抛运动的时间越长，做平抛运动的水平分速度越小，当小球在D点对轨道的压力恰好为零时，从D点抛出的速度最小

则D点根据牛顿运动定律得：

求得D最小速度为：

由平抛运动的规律得：

求得：

设BC间的高度为h，则有：

求得：；

（2）若BC间的高度为1.5R，则AD间的高度差为2R，设小球从D点抛出到A点所用时间为t/，则有：

求得：

小球在D点的速度：

设小球在半圆轨道的最低点速度为v，根据机械能守恒得：

在最低点对小球有：

求得：

根据牛顿第三定律，小球在轨道最低点对轨道的压力大小为：。