Question

如图所示，M、N为竖直放置的平行金属板，两板间所加电压为，、为板上正对的小孔. 金属板P和Q水平放置在N板右侧，关于小孔、所在直线对称，两板的长度和两板间的距离均为l； 距金属板P和Q右边缘l处有一荧光屏，荧光屏垂直于金属板P和Q；取屏上与S₁、共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴，M板左侧电子枪发射出的电子经小孔进入M、N两板间. 电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略. 不计电子重力和电子之间的相互作用. 为简单计，忽略电容器的边缘效应.

（1）求电子到达小孔时的速度大小v；

（2）金属板P和Q间电压u随时间t的变化关系如图所示，单位时间内从小孔进入的电子都相同. 电子打在荧光屏上形成一条亮线，忽略电场变化产生的磁场；可以认为每个电子在板P和Q间运动过程中，两板间的电压恒定.

a. 试分析、猜测题干中“可以认为每个电子在板P和Q间运动过程中，两板间的电压恒定”这句话的根据？

b. 当某个电子在金属板P、Q两板间电压时进入P、Q间，求其打到荧光屏上的位置.

c. 求打到荧光屏上的电子最大动能.

d. 试分析在一个周期（即时间）内荧光屏单位长度亮线上的电子个数是否相同？

Answer

(1) (2) a.见解析 b. c. d.电子个数相同

【解析】

（1）根据动能定理有：

解得：

（2）a. 由（1）中电子速度表达式猜测，由于电子比荷q/m极大，电子很容易加速到很大的速度，电子在板P和Q间运动的时间远小于交变电压变化的周期，故“可以认为每个电子在板P和Q间运动过程中，两板间的电压恒定”。

b. 假设所有电子均能打在荧光屏上，下面以偏向P板的电子为例推导，偏向Q板的电子推导过程相同。

设电子在偏转电场中的运动时间为，PQ间的电压为u

垂直电场方向：

平行电场方向：

此过程中电子的加速度大小

联立得：

电子出偏转电场时，在x方向的速度

电子在偏转电场外做匀速直线运动，设经时间到达荧光屏，则

水平方向：

竖直方向：

联立解得：

电子打在荧光屏上的位置坐标：

当时，，电子能打在荧光屏上

故。

c. 当时，，即从极板边缘射出的电子动能最大，无论电子向哪个极板偏转，电场力均做正功。

由全过程动能定理可得：

解得

d. 对于有电子穿过P、Q间的时间内进行讨论：

打在荧光屏上的电子形成的亮线长度

由电压图象可知，在任意△t时间内，P、Q间电压变化相等。

所以在任意时间内亮线长度相等。

由题意可知，在任意时间内，射出的电子个数是相同的，也就是说在任意时间内，射出的电子都分布在相等的亮线长度范围内。

因此在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同。