Question

如图所示，两根电阻忽略不计、互相平行的光滑金属导轨竖直放置，相距L=1m，在水平虚线间有与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，磁场区域的高度d=1m，导体棒a的质量m_a=0.2kg、电阻R_a=1Ω；导体棒b的质量m_b=0.1kg、电阻R_b=1.5Ω．它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，b匀速穿过磁场区域，且当b刚穿出磁场时a正好进入磁场，重力加速度g=10m/s²，不计a、b棒之间的相互作用，导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好，求：

（1）b棒穿过磁场区域过程中克服安培力所做的功；

（2）a棒刚进入磁场时两端的电势差；

（3）保持a棒以进入时的加速度做匀变速运动，对a棒施加的外力随时间的变化关系．

Answer

（1）b棒穿过磁场区域过程中克服安培力所做的功为1J；（2）a棒刚进入磁场时两端的电势差为3.3V；

（3）保持a棒以进入时的加速度做匀变速运动，对a棒施加的外力随时间的变化关系为F=0.45t﹣1.1．

【解析】

（1）b在磁场中匀速运动，其安培力等于重力，根据重力做功情况求出b棒克服安培力分别做的功．

（2）b进入磁场做匀速直线运动，受重力和安培力平衡，根据平衡条件，结合闭合电路欧姆定律和切割产生感应电动势大小公式，求出b做匀速直线运动的速度大小．a、b都在磁场外运动时，速度总是相等，b棒进入磁场后，a棒继续加速运动而进入磁场，根据运动学速度时间公式求解出a进入磁场时的速度大小，由E=BLv求出a棒产生的感应电动势，即可求得a棒刚进入磁场时两端的电势差．

（3）根据牛顿第二定律求出a棒刚进入磁场时的加速度，再根据牛顿第二定律求出保持a棒以进入时的加速度做匀变速运动时外力与时间的关系式．

（1）b棒穿过磁场做匀速运动，安培力等于重力，则有：BI1L=mbg，

克服安培力做功为：W=BI1Ld=mbgd=0.1×10×1=1J

（2）b棒在磁场中匀速运动的速度为v1，重力和安培力平衡，根据平衡条件，结合闭合电路欧姆定律得：

=mbg,vb===10m/s，

b棒在磁场中匀速运动的时间为t1，d=vbt1，t1===0.1s,a、b都在磁场外运动时，速度总是相等的，b棒进入磁场后，a棒继续加速t1时间而进入磁场，a棒进入磁场的速度为va，va=vb+gt1=10+10×0.1=11m/s.

电动势为：E=BLva=0.5×1×11=5.5V,a棒两端的电势差即为路端电压为：U===3.3V.

（3）a棒刚进入磁场时的加速度为a，根据牛顿第二定律得：mag﹣BI2L=maa,

a=g﹣=g﹣=10﹣=4.5m/s2，

要保持加速度不变，加外力F，根据牛顿第二定律得：F+mag﹣BIL=maa

得：F=t=×t=0.45t﹣1.1.