Question

水平面上有一木板，质量为M=2kg，板左端放有质量为m=1kg的物块（视为质点），已知物块与木板间动摩擦因数为μ₁=0.2，木板与水平面间的动摩擦因数为μ₂=0.4．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取．

（1）现用水平力F拉动木板，为使物块与木板一起运动而不相对滑动，求拉力F的大小范围？

（2）若拉动木板的水平力F=15N，由静止经时间t₁=4s立即撤去拉力F，再经t₂=1s物块恰好到达板右端，求板长L=？

Answer

（1）12N＜F≤18N（2）1.4m

【解析】

（1）物块与木块一起运动，拉力F必须大于木板与地面之间的最大静摩擦力，当m与M之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，拉力F达到最大值；

（2）拉动木板的水平力F=15N，在第（1）问拉力的范围内，整体先做匀加速运动，撤去F后，m向右匀减速，M向右匀减速，当M静止后，m继续向右匀减速到木板右端，求出木板静止前的相对位移和木板静止后物块的位移，即可求出木板的长度；

（1）M与地面之间的最大静摩擦力f1=μ2(M+m)g＝0.4×(2+1)×10＝12N
当M、m整体一起向右匀加速运动时，当m与M的静摩擦力达到最大静摩擦力时，拉力F最大；

对m：μ1mg＝ma①

得a=μ1g＝0.2×10m/s2＝2m/s2
对整体：F−μ2(M+m)g＝(M+m)a②
代入数据：F-12=（2+1）×2
解得：F=18N
所以拉力F大小范围是12N＜F≤18N
（2）拉动木板的水平力F=15N，M、m一起匀加速运动
根据牛顿第二定律：
t1＝4s时速度v1＝at1＝1×4m/s＝4m/s
撤去F后，物块加速度a1＝μ1g＝2m/s2
对木板：μ1mg−μ2(M+m)g＝Ma2，
代入数据：0.2×10−12＝2 a2
解得：a2＝−5m/s2
木板向右速度减为0的时间；根据题意t2=1s物块恰好到达板右端

在t1时间内物块的位移：

木板的位移：

物块相对木板的位移△x＝x1-x2＝2.56−1.6＝0.96m
根据题意撤去力F后，再经t2=1s物块恰好到达板右端
所以木板静止后，木块继续运动0.2s
t1＝0.8s时物块的速度v2=v1-a1t1＝4−2×0.8＝2.4m/s

木板长：L=△x+△x′=0.96+0.44=1.4m