Question

如图，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为l，电阻不计，左侧接有定值电阻R，质量为m、电阻为r的导体杆，以初速度v₀沿轨道滑行，在滑行过程中保持与轨道垂直且接触良好，整个装置处于方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中。宏观规律与微观规律有很多相似之处，导体杆速度的减小规律类似于放射性元素的半衰期，理论上它将经过无限长的时间衰减完有限的速度。

（1）求在杆的速度从v₀减小到的过程中：

①电阻R上产生的热量；

②通过电阻R的电量；

（2）①证明杆的速度每减小一半所用的时间都相等；

②若杆的动能减小一半所用时间为t₀，则杆的动量减小一半所用时间是多少？

Answer

（1）①，② ；（2）①，②2t0。

【解析】

(1)①设电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律

串联电路中，产生的热量与电阻成正比，可得

QR＝Q

解得电阻R产生的热量为

；

②设该过程所用时间为t，由动量定理

其中

解得通过R的电量为：

；

(2)①设某时刻杆的速度为v(从v0开始分析亦可)，则

感应电动势

E＝Blv，

感应电流

I＝，

安培力

F＝BIl＝

在很短时间Δt内，由动量定理

FΔt＝mΔv，(Δv为速度变化绝对值)

可得

所以在任意短时间内速度变化的比例为

由于为定值，可见任何相等时间内速度变化的比例都相等。所以从任何时刻开始计算，速度减小一半所用时间都相等。

②杆的动能减小一半，其速度v减小为，所用时间为t0，

由①中分析可得，杆的速度从再减小到所用时间仍为t0，

所以杆的速度减小一半所用时间为2t0，即动量减小一半所用时间为2t0。