Question

如图所示，半径为R＝1 m，内径很小的粗糙半圆管竖直放置，一直径略小于半圆管内径、质量为m＝1 kg的小球，在水平恒力F＝N的作用下由静止沿光滑水平面从A点运动到B点，A、B间的距离x＝m，当小球运动到B点时撤去外力F，小球经半圆管道运动到最高点C，此时球对外轨的压力F_N＝2.6mg，然后垂直打在倾角为θ＝45°的斜面上(g＝10 m/s²)．求：

(1)小球在B点时的速度的大小；

(2)小球在C点时的速度的大小；

(3)小球由B到C的过程中克服摩擦力做的功；

(4)D点距地面的高度．

Answer

(1)10 m/s (2)6 m/s (3)12 J (4)0.2 m

【解析】

对AB段，运用动能定理求小球在B点的速度的大小；小球在C点时，由重力和轨道对球的压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求小球在C点的速度的大小；小球由B到C的过程，运用动能定理求克服摩擦力做的功；小球离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合求D点距地面的高度．

(1)小球从A到B过程，由动能定理得：

解得：vB＝10 m/s

(2)在C点，由牛顿第二定律得mg＋FN＝

又据题有：FN＝2.6mg

解得：vC＝6 m/s.

(3)由B到C的过程，由动能定理得：－mg·2R－Wf＝

解得克服摩擦力做的功：Wf＝12 J

(4)设小球从C点到打在斜面上经历的时间为t，D点距地面的高度为h，

则在竖直方向上有：2R－h＝gt2

由小球垂直打在斜面上可知：＝tan 45°

联立解得：h＝0.2 m