Question

如图所示，倾角30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个质量均为m=1kg的物块B和C，C紧靠着挡板P，B通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量M=8kg的物块A连接，细绳平行于斜面，A在外力作用下静止在圆心角为60°、半径R=2m的的光滑圆弧轨道的顶端a处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b与粗糙水平轨道bc相切，bc与一个半径r=0.2m的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放A，当A滑至b时，C恰好离开挡板P，此时绳子断裂。已知A与bc间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度取g=10m/s²，弹簧的形变始终在弹性限度内，细绳不可伸长。

（1）求弹簧的劲度系数；

（2）求物块A滑至b处，绳子断后瞬间，A对圆轨道的压力大小；

（3）为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，则bc间的距离应满足什么条件？

Answer

（1）5N/m（2）144N（3）0≤Lab≤3m或6m≤Lbc≤8m

【解析】

考查牛顿运动定律与动能定理的综合应用。

（1）A在a处时，绳子拉直无张力，弹簧压缩，设压缩量为x1，弹簧弹力为：

A在b处时，弹簧伸长，设伸长量为x2，那么：

又有当A滑至b时，C恰好离开挡板P，所以，弹簧弹力：

所以:

所以:

（2）A从a到b过程由，ABC及弹簧系统只有重力、弹簧弹力做功，且A在a处和b处，弹簧的形变量相同，故弹性势能不变，弹簧弹力做功为零；那么，ABC及弹簧系统机械能守恒；

设A在b处的速度为vb，那么，B的速度为A的速度在沿绳子方向的分速度，故B的速度

则由动能定理可得：

所以vb=4m/s；

对物块A滑至b处，绳子断后瞬间应用牛顿第二定律，则有：

所以

故由牛顿第三定律可知：物块A滑至b处，绳子断后瞬间，A对圆轨道的压力大小为144N；

（3）为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，那么，物块A在圆轨道上可能达到的最高点h≤r或者h=2r；

那么，当h=2r时，对物体A在最高点应用牛顿第二定律有：

A在圆轨道上运动，机械能守恒，所以，A在c处的动能：

；

当h≤r时，由机械能守恒可得A在c处的动能：

所以，A在c处的动能为Ekc1≥40J或0≤Ekc2≤16J；

又有A在b处的动能：

A从b到c运动过程，只有摩擦力做功，且摩擦力：

故由动能定理可得：

所以， 或。