Question

如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，与的夹角为，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。

（1）求小球初速度的大小；

（2）求小球绕钉子做圆周运动的半径r与的关系式；

（3）在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过A点。若能，请求出细线被拉断时的值；若不能，请通过计算说明理由。

Answer

（1）（2）（3）不能通过A点，理由见解析。

【解析】

(1) 小球恰能完整圆周运动至最高点，设最高点的速度为v，据圆周运动公式：

解得：

小球释放至最高点，由动能定理：

解得：

(2)小球绕钉子做圆周运动，设碰到钉子时的速度为，由释放到碰到钉子时根据动能定理得：

碰到钉子到绳子断的过程，由动能定理得：

绳子断的瞬间：

联立以上几式，解得：

（3）细线被拉断后，小球做平抛运动，设t时间小球运动到与A点同一竖直线上，由几何关系德：

平抛运动水平方向列方程得：

由（2）可知：

平抛运动竖直方向列方程得：

带入上面几式可得：

平抛开始点与A点的高度差h为：

若正好过A点，则，解得：

此结论与（2）不相符，所以小球不能通过A点。