Question

如图所示，在同一水平面上的两根光滑绝缘轨道，左侧间距为2l，右侧间距为l，有界匀强磁场仅存在于两轨道间，磁场的左右边界（图中虚线）均与轨道垂直。矩形金属线框abcd平放在轨道上，ab边长为l，bc边长为2l。开始时，bc边与磁场左边界的距离为2l，现给金属线框施加一个水平向右的恒定拉力，金属线框由静止开始沿着两根绝缘轨道向右运动，且bc边始终与轨道垂直，从bc边进入磁场直到ad边进入磁场前，线框做匀速运动，从bc边进入右侧窄磁场区域直到ad边完全离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框从开始运动到完全离开磁场前的整个过程中产生的热量为Q。问：

(1)线框ad边刚离开磁场时的速度大小是bc边刚进入磁场时的几倍？

(2)磁场左右边界间的距离是多少？

(3)线框从开始运动到完全离开磁场前的最大动能是多少？

Answer

(1)线框ad边刚离开磁场时的速度大小是bc边刚进入磁场时速度的4倍；(2)磁场左右边界间的距离是32l；(3)线框从开始运动到完全离开磁场前的最大动能是Q。

【解析】

(1)设磁感强度为B，设线框总电阻为R，线框受的拉力为F，bc边刚进磁场时的速度为v1，则感应电动势为：

E1=2Blv1

感应电流为：

线框所受安培力为：

F1=2BI1l

线框做匀速运动，其受力平衡，即：F1=F，联立各式得：

设ad边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v2，同理可得：

所以：

v2=4v1；

(2)bc边进入磁场前，线框做匀加速运动，设加速度为a，bc边到达磁场左边界时，线框的速度为

从ad边进入磁场到bc边刚好进入右侧窄磁场区域的过程中线框的加速度仍为a，由题意可知bc边刚进入右侧窄磁场区域时的速度为：

v2=4v1，

从线框全部进入磁场开始，直到bc边进入右侧窄磁场前，线框做匀加速运动，设位移为s1，则：

将，代入得：

s1=30l

磁场左右边界间的距离为：

s=l+s1+l=32l；

(3)整个过程中，只有拉力F和安培力对线框做功，线框离开磁场之前，动能最大，设最大动能为Ek，由动能定理有：

WF+W安=Ek-0

由：

WF=F（2l+s+l）=35Fl

W安=-F×3l

及

Q=-W安

可知：

线框的最大动能为：

。