Question

如图所示，竖直放置的质量为4m，长为L的圆管顶端塞有一个质量为m的弹性圆球，球与管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4mg。圆管从下端离地面距离为H处自由落下，落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等。求：

(1)圆管第一次与地面碰撞后瞬间圆管和球的速度；

(2)圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足什么条件；

(3)圆管上升的最大高度是多少？

Answer

(1)，方向向下；(2)；(3)。

【解析】

(1)取竖直向下的方向为正方向；

圆管第一次碰地前瞬间球与管的速度

方向向下；

碰地后瞬间管的速度

方向向上；

球的速度没有发生改变，有：

方向向下；

(2)球相对于管的速度

方向向下；

碰后，管受重力及向下的摩擦力，加速度

方向向下；

球受重力及向上的摩擦力，加速度

方向向上；

球相对管的加速度

方向向上；

取管为参照物，则球与管相对静止前，球相对管下滑的距离为：

要满足球不滑出圆管，则有

；

(3)设管从碰地到它弹到最高点所需时间为t1(设球与管在这段时间内摩擦力方向不变)，则：

设管从碰地到与球相对静止所需时间为t2

因为t1＞t2，说明球与管先达到相对静止，再以共同速度上升至最高点，设球与管达到相对静止时离地高度为h′，两者共同速度为v′，分别为：

然后球与管再以共同速度v′做竖直上抛运动，再上升高度h″为

因此，管上升最大高度

。