Question

在直角坐标系xOy中，A（-0.3，0）、C是x轴上的两点，P点的坐标为（0，0.3）。在第二象限内以D（-0.3，0.3）为圆心、0.3m为半径的圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B=0.1T 的匀强磁场；在第一象限三角形OPC之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场。现有大量质量为m=3×10^-9kg、电荷量为q=1×10^-4C的相同粒子，从A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子从P点进入电场，经电场后恰好通过C点。已知α=37°，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：

（1）粒子的初速度大小；

（2）电场强度E的大小；

（3）粒子穿越x正半轴的最大横坐标。

Answer

（1）1×103m/s（2）112.5V/m（3）0.5m

【解析】

考查带电粒子在复合场中的运动。

（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径r，粒子的初速度v

洛伦兹力提供向心力：

可得：

根据题意和几何知识，可得：

r=DP=0.3m

代入上式得：v=1×103m/s；

（2）粒子轨迹圆的半径与速度垂直，所以沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与y轴垂直，故该粒子在电场中做类平抛运动，设类平抛运动时间为t

x方向：

y方向：

根据几何关系得：

根据牛顿第二定律：

Eq=ma

联立各式得：E=112.5V/m ；

（3）

设速度方向与x轴正方向的夹角为θ的入射粒子，从x正半轴穿过时距离O点最远，粒子从F点离开磁场，其中O′是粒子运动轨迹的圆心，粒子运动到F点时的速度为vF，

由于粒子的运动半径等于磁场的半径，所以四边形ADFO′为菱形，O′F∥AD，速度vF⊥O′F，而AD又是竖直方向，所以vF垂直于y轴从F′点进入电场，仍做类平抛运动；

设粒子在电场中的运动时间为t′，粒子穿越x正半轴的最大坐标为，粒子做类平抛运动x方向的位移为x，F′点的坐标为（，），F点的纵坐标为yF，则：

类平抛过程，x方向：

x=vt′

y方向：

粒子到达x轴的坐标为：

根据几何关系得：

联立各式，得：

令=k，所以：

根据数学知识可知，当k=0.5时有最大值，最大值为0.5m。