Question

如图所示，“蜗牛”状轨道OAB竖直固定在水平地面上，与地面在B处平滑连接。其中“蜗牛”状轨道由内壁光滑的半圆轨道OA和AB平滑连接而成，半圆轨道OA的半径R₁＝0.6 m，半圆轨道AB的半径 R₂＝1.2 m，水平地面BC长为x_BC＝11 m，C处是一个开口较大的深坑，一质量m＝0.1 kg的小球从O点沿切线方向以某一初速度进入轨道OA后，沿OAB轨道运动至水平地面，已知小球与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s²。

(1)为使小球不脱离OAB轨道，小球在O点的初速度至少为多大？

(2)若小球在O点的初速度v＝6 m/s，求小球在B点对半圆轨道的压力大小；

(3)若使小球能落入深坑C，则小球在O点的初速度至少为多大？

Answer

(1)6 m/s (2)6 N (3)8 m/s

【解析】

（1）小球通过最高点A的临界条件是

解得小球过A点的最小速度

vA＝2 m/s

设O点为零势能点，小球由O到A过程由机械能守恒定律得

解得

v0＝6 m/s。

（2）设B点为零势能点，小球由O到B过程机械能守恒，则

解得

vB＝2 m/s

在B点由牛顿第二定律得

FN－mg＝m

解得

FN＝6 N

由牛顿第三定律得轨道受到的压力

FN′＝FN＝6 N。

（3）设小球恰能落入深坑C，即vC＝0时初速度最小，小球由O到C过程由动能定理得

mgR2－μmgxBC＝0－mv′2

解得

v′＝8 m/s>v0＝6 m/s

则假设成立，小球在O点的速度至少为8 m/s。