Question

如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，在x<0区域内存在一圆形的匀强磁场，圆心O₁坐标为（-d，0），半径为d，磁感应强度大小为B，方向与竖直平面垂直，x≥0区域存在另一磁感应强度大小也为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。现有两块粒子收集板如图所示放置，其中的端点A、B、C的坐标分别为（d，0）、（d，）、（3d，0），收集板两侧均可收集粒子。在第三象限中，有一宽度为2d粒子源持续不断地沿y轴正方向发射速率均为v的粒子，粒子沿x轴方向均匀分布，经圆形磁场偏转后均从O点进入右侧磁场。已知粒子的电荷量为+q，质量为m，重力不计，不考虑粒子间的相互作用，求：

(1)圆形磁场的磁场方向；

(2)粒子运动到收集板上时，即刻被吸收，求收集板上有粒子到达的总长度；

(3)收集板BC与收集板AB收集的粒子数之比。

Answer

(1)垂直纸面向外；(2) (3)1:1

【解析】

(1)粒子带正电且在圆形磁场中向右偏转，可知磁场方向垂直纸面向外；

(2)利用旋转圆可以知道，粒子平行于Y轴射入圆形磁场中，且都从同一点O射入右边的磁场中，则粒子运动的轨迹圆半径必与圆形磁场的半径是相同的，即为d；粒子进入右边磁场后，因为磁感应强度也为B，可知粒子在右边磁场中运动时的圆轨迹半径也为r=d；

打在AB收集板上的临界情况分别是轨迹圆与AB板相切，即沿x轴正方向射入的粒子，和粒子刚好过A点的粒子，故AB板上粒子打的区域长度为d。

而粒子只有从第四象限进入右边磁场才有可能打在收集板BC上。

根据几何关系可得，粒子刚好经过A点时，轨迹圆圆心O2和原点O以及A点构成一个正三角形，可得：粒子与x轴正方向成30°向下。此时粒子刚好打到BC板上的P1点。

由几何关系可知OAP1O1为菱形，且AP1与BC垂直，则由几何关系可得，

粒子在板上打的最远距离是当直径作为弦的时候，此时与BC的交点为P2，根据点A、B、C的坐标可得，三角形ABC是直角三角形，角C为30°

由余弦定理可得

解得：

第二个临界，轨迹圆恰好与BC收集板相切，由几何关系可得，此时交点与P1重合。

则打到收集板上粒子的总长：

(3)粒子打在AB收集板的角度范围是与x轴正方向0°~30°，打在BC板上的角度范围是与x轴正方向成30°~90°。由于粒子是沿x轴均匀分布，故需要计算找出入射粒子的长度之比。

由几何关系可得，进入第四象限的粒子入射的长度分布恰好是粒子源中左半部分的d，故只需找到与x轴正方向成30°入射的粒子进入圆心磁场的位置即可，

LMN=dsin30°=d/2