Question

如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L．导轨上端接有一平行板电容器，电容为C．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g．忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求:

（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系．

Answer

（1）

（2）

【解析】

试题（1）由法拉第电磁感应定律，求出感应电动势；再与相结合求出电荷量与速度的关系式．

（2）由左手定则来确定安培力的方向，并求出安培力的大小；借助于、及牛顿第二定律来求出速度与时间的关系．

【解析】
（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E=BLv，

平行板电容器两极板之间的电势差为U=E，

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，

按定义有，

联立可得，Q=CBLv．

（2）设金属棒的速度大小为v时，经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，

金属棒受到的磁场力方向沿导轨向上，大小为f1=BLi，

设在时间间隔（t，t+△t）内流经金属棒的电荷量为△Q，

则△Q=CBL△v，

按定义有：，

△Q也是平行板电容器极板在时间间隔（t，t+△t）内增加的电荷量，

由上式可得，△v为金属棒的速度变化量，

金属棒所受到的摩擦力方向沿导轨斜面向上，

大小为：f2=μN，式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，

有N=mgcosθ，

金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，

设其大小为a，

根据牛顿第二定律有：mgsinθ﹣f1﹣f2=ma，

即：mgsinθ﹣μmgcosθ=CB2L2a+ma；

联立上此式可得：．

由题意可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为．

答：（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系为Q=CBLv；

（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系．