Question

伽利略在研究运动和力的关系时，曾经考虑了一个无摩擦的理想实验：如图所示，在A点处悬挂一个质量为m的摆球，将摆球拉至B点处由静止释放，摆球将摆到与B点等高的C处；假若在A点正下方的E处钉一钉子，摆球的运动路径会发生改变，但仍能升到与开始等高的D处。若图中的摆线长为l，初始时刻摆线与竖直线之间的夹角为60°，重力加速度大小为g。求：

(1)摆球摆到最低点O时速度的大小；

(2)摆球摆到最低点O时对摆线的拉力大小；

(3)将E处的钉子下移，当钉子与A点的距离至少多大时，摆球摆下后能在竖直面内做完整的圆周运动。

Answer

(1)摆球摆到最低点时速度；(2) 摆球摆到最低点时对摆线的拉力大小为；(3)当钉子与的距离至少为时，摆球摆下后能在竖直面内做完整的圆周运动。

【解析】

(1)摆球运动过程无摩擦，摆球摆到最低点O的过程，只有重力做功，那么机械能守恒；则有：

解得：

；

(2)摆球摆到最低点时，由合力提供向心力，由牛顿第二定律得：

可得：

由牛顿第三定律知：摆球摆到最低点时对摆线的拉力大小为。

(3)设小球恰能通过最高点时，其轨道半径为，在最高点处由牛顿第二定律得：

；

从最低点到最高点由动能定理得：

；

解得：

；

所以有：

；

故将处的钉子下移，当钉子与的距离至少为时，摆球摆下后能在竖直面内做完整的圆周运动。